Samenvatting · Informatica · havo 4 Getalstelsels: decimaal, binair en hexadecimaal omrekenen en rekenen

Een computer kent maar twee toestanden: stroom of geen stroom. Alles wat hij opslaat, van je foto's tot dit document, bestaat daarom uit nullen en enen. Na deze samenvatting reken je getallen om tussen het decimale, binaire en hexadecimale stelsel en tel je binair op.

Het decimale stelsel als uitgangspunt

In het decimale stelsel (grondtal 10) heeft elke plaats een waarde die een macht van 10 is. Het getal 345 betekent $3\cdot 100+4\cdot 10+5\cdot 1$. Je gebruikt tien cijfers, 0 tot en met 9.

Het binaire stelsel (grondtal 2) werkt hetzelfde, maar met machten van 2 en alleen de cijfers 0 en 1. Een enkel binair cijfer heet een bit. Acht bits samen vormen een byte.

Binair naar decimaal

Elke plaats van rechts naar links is een macht van 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Tel de waarden op van de plaatsen waar een 1 staat.

Dus $101101_2=32+8+4+1=45$. Het kleine cijfer 2 onderaan laat zien dat het om een binair getal gaat.

Decimaal naar binair

Er zijn twee handige methoden.

Methode 1: delen door 2 en de resten opschrijven. Neem 45:

Lees de resten van onder naar boven: $101101_2$.

Methode 2: de grootste machten van 2 aftrekken. Van 45 gaat 32 eraf (rest 13), dan 8 (rest 5), dan 4 (rest 1), dan 1. Zet een 1 bij 32, 8, 4 en 1 en een 0 bij 16 en 2.

Hoeveel kun je met $n$ bits?

Met $n$ bits kun je $2^n$ verschillende waarden maken. Zonder negatieve getallen loopt dat van 0 tot en met $2^n-1$. Met 8 bits zijn dat 256 waarden en is het grootste getal 255. Met 4 bits zijn het er 16 (0 tot en met 15).

Hexadecimaal

Binaire getallen worden snel lang. Het hexadecimale stelsel (grondtal 16) is een korte schrijfwijze. Je hebt 16 cijfers nodig: 0 tot en met 9, en daarna A tot en met F.

Hex naar decimaal: $2F_{16}=2\cdot 16+15=47$.

Hex en binair: één hexcijfer is precies vier bits. Daarom zet je een binair getal om door het in groepjes van vier bits te splitsen:

want $1011_2=11=B$ en $0111_2=7$. Andersom: $2F_{16}=00101111_2$. Een byte is dus altijd twee hexcijfers, en de grootste byte is $F{F}_{16}=255$.

Binair optellen

Binair optellen werkt als optellen onder elkaar, met deze regels per plaats:

Past de uitkomst niet meer in het aantal beschikbare bits, dan treedt overflow op: in 8 bits geeft $255+1$ geen 256 maar weer 0.

Let op

• Lees binair van rechts naar links bij de plaatswaarden: de rechter bit is $2^0=1$.
• Resten van onder naar boven. Wie ze van boven naar onder leest, krijgt het getal gespiegeld.
• Hex is geen tientallig getal. $10_{16}$ is 16, niet 10.
• **Een getal met $n$ bits gaat tot $2^n-1$,** niet tot $2^n$.

In het kort

• Een bit is 0 of 1, een byte is 8 bits; met $n$ bits maak je $2^n$ waarden (0 tot $2^n-1$).
• Binair naar decimaal: tel de machten van 2 op bij de enen.
• Decimaal naar binair: deel herhaald door 2 en lees de resten van onder naar boven.
• Hexadecimaal gebruikt 0 tot 9 en A tot F; één hexcijfer is vier bits.
• Binair optellen: $1+1=10_2$; in een vast aantal bits kan overflow optreden.