Samenvatting · Rekenen · mbo 3 Gemiddelde, mediaan en modus: wat zegt een rij getallen?

Na deze samenvatting bereken je het gemiddelde, de mediaan en de modus van een rij getallen, weet je wanneer welke bij een situatie past en kun je ook met een gewogen gemiddelde en met terugrekenen overweg. Dit hoort bij het domein Verbanden van de referentieniveaus 2F en 3F. Je komt het tegen bij cijfers, lonen, uren en prijzen.

Gemiddelde

Het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden:

Voorbeeld bijbaan: in vijf weken werk je 12, 8, 15, 10 en 8 uur. De som is $12+8+15+10+8=53$ uur. Het gemiddelde is $53:5=10,6$ uur per week.

Voorbeeld cijfers: je haalt 6,5, 7,0, 5,5 en 8,0. De som is 27 en het gemiddelde is $27:4=6,75$.

Het gemiddelde ligt altijd tussen de kleinste en de grootste waarde. Komt er iets anders uit, dan heb je ergens een fout gemaakt.

Mediaan, modus en bereik

Is het aantal waarden even, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste. Bij 8, 8, 10, 12, 15, 20 zijn 10 en 12 de middelste, dus de mediaan is $(10+12):2=11$.

Welke past bij welke vraag?

• Het gemiddelde gebruik je als je wilt weten wat iedereen zou krijgen bij een eerlijke verdeling, of als je met het totaal wilt rekenen.
• De mediaan gebruik je voor een typische waarde als er uitschieters zijn.
• De modus gebruik je voor het meest voorkomende, zoals de schoenmaat die een winkel het meest moet inkopen.

Uitschieter. Vijf collega's verdienen per maand € 2.100, € 2.200, € 2.250, € 2.300 en € 6.350. De som is € 15.200, dus het gemiddelde is $15200:5=3040$ euro. De mediaan is € 2.250. Vier van de vijf verdienen minder dan het gemiddelde. Eén hoog salaris trekt het gemiddelde omhoog, dus de mediaan geeft hier het beste beeld van wat gewoon is.

Een tabel lezen

Een kantine telt de verkochte ijsjes in een week:

Het totaal is $40+35+55+60+70=260$ ijsjes. Het gemiddelde is $260:5=52$ per dag. De mediaan is 55 (de middelste van 35, 40, 55, 60, 70). Op drie dagen, woensdag tot en met vrijdag, ligt de verkoop boven het gemiddelde.

Een frequentietabel en het gewogen gemiddelde

In een klas van 25 leerlingen is het aantal broers en zussen geturfd:

Het totaal aantal broers en zussen is $0\times 5+1\times 9+2\times 8+3\times 3=34$. Het gemiddelde is $34:25=1,36$. De modus is 1 (9 leerlingen). De mediaan is de 13e waarde van de gesorteerde rij. De eerste 5 leerlingen hebben 0, leerling 6 tot en met 14 hebben 1, dus de mediaan is 1.

Bij een gewogen gemiddelde telt de ene waarde zwaarder mee dan de andere. Een proefwerk met weging 1 en een eindtoets met weging 3: je haalt een 6,0 en een 8,0. Het gemiddelde is $(6,0\times 1+8,0\times 3):(1+3)=30:4=7,5$.

Gemiddelde van twee groepen. Groep A heeft 10 mensen met gemiddeld 20 jaar, groep B heeft 30 mensen met gemiddeld 40 jaar. Het gemiddelde van de hele groep is $(10\times 20+30\times 40):40=1400:40=35$ jaar. Het is dus niet $(20+40):2=30$, want de grotere groep telt zwaarder mee.

Terugrekenen met het gemiddelde

Als je het gemiddelde en het aantal kent, ken je de som: gemiddelde keer aantal.

Veelgemaakte fouten

• Je zoekt de mediaan zonder de getallen eerst te sorteren.
• Bij een even aantal waarden neem je één van de middelste in plaats van het gemiddelde van de twee middelste.
• Je neemt het gemiddelde van twee gemiddelden zonder de groepsgrootte mee te wegen.
• Je laat een 0 weg uit de som, maar telt hem wel mee in het aantal, of andersom.
• Je denkt dat het gemiddelde ook het meest voorkomende getal is. Dat is de modus.

In het kort

• Gemiddelde is de som gedeeld door het aantal waarden.
• De mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde rij, de modus de waarde die het vaakst voorkomt.
• Bij uitschieters geeft de mediaan een eerlijker beeld dan het gemiddelde.
• Bij een gewogen gemiddelde vermenigvuldig je elke waarde met zijn gewicht en deel je door de som van de gewichten.
• Som is gemiddelde keer aantal. Daarmee reken je terug.