Samenvatting · Rekenen · mavo 3 Inhoud berekenen: van kubus en cilinder tot kegel en bol

Na deze samenvatting bereken je de inhoud van een kubus, balk, prisma, cilinder, kegel, piramide en bol, reken je kubieke eenheden om in liters en bereken je een onbekende hoogte als de inhoud bekend is. Je ziet wat er met de inhoud gebeurt als een voorwerp groter wordt. Dit hoort bij het domein Meten en meetkunde.

Inhoud en eenheden

De inhoud (het volume) is de ruimte die een voorwerp inneemt. Je geeft inhoud in kubieke eenheden: cm³, dm³ en m³. Voor vloeistoffen gebruik je liters.

• 1 dm³ = 1 liter
• 1 cm³ = 1 ml
• 1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000 liter

Zet alle maten eerst om naar dezelfde eenheid, en schrijf bij het antwoord een kubieke eenheid.

De formules

Een prisma heeft overal dezelfde doorsnede, het grondvlak. Voor een cilinder werkt het net zo, met een cirkel als grondvlak. Een kegel en een piramide hebben een derde van de inhoud van een cilinder of prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Bij een cirkel heb je de straal nodig: de helft van de diameter.

Voorbeelden

Zandbak (balk). Een zandbak is 2,0 m lang, 1,5 m breed en 0,30 m diep. De inhoud is $2,0\times 1,5\times 0,30=0,9$ m³. Dat is 900 liter. Verkopen ze zand in zakken van 25 liter, dan heb je $900:25=36$ zakken nodig.

Pot (cilinder). Een pot heeft een diameter van 8 cm en is 12 cm hoog. De straal is 4 cm. De inhoud is $\pi \times 4^2\times 12\approx 603,2$ cm³, dus ongeveer 0,60 liter.

Tent (prisma). De doorsnede van een tent is een driehoek met een basis van 2,0 m en een hoogte van 1,2 m. Het grondvlak is $\frac{1}{2}\times 2,0\times 1,2=1,2$ m². De tent is 2,5 m lang, dus de inhoud is $1,2\times 2,5=3,0$ m³.

IJshoorntje (kegel). Een hoorntje heeft een straal van 3 cm en een hoogte van 10 cm: $\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 10\approx 94,2$ cm³.

Piramide. Een piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 6 m en een hoogte van 4 m. Het grondvlak is 36 m², dus de inhoud is $\frac{1}{3}\times 36\times 4=48$ m³.

Bal (bol). Een bal heeft een straal van 11 cm: $\frac{4}{3}\times \pi \times 11^3\approx 5575$ cm³, ongeveer 5,6 liter.

Terugrekenen naar de hoogte

Bij een balk of prisma geldt: inhoud = grondvlak × hoogte. Dus hoogte = inhoud : grondvlak.

Wat gebeurt er als alles groter wordt?

Maak je alle afmetingen van een voorwerp 2 keer zo groot, dan wordt de inhoud niet 2 keer, maar $2\times 2\times 2=8$ keer zo groot.

Algemeen: gaan alle lengtes met factor $f$ omhoog, dan gaat de oppervlakte met factor $f^2$ omhoog en de inhoud met factor $f^3$.

Veelgemaakte fouten

• Je deelt cm³ door 100 om liters te krijgen. Dat moet door 1.000. 603 cm³ is 0,603 liter.
• Je vult de diameter in waar de straal hoort, of je vergeet het kwadraat bij $r^2$.
• Je vergeet bij een kegel of piramide de factor $\frac{1}{3}$.
• Je mengt eenheden, zoals meters en centimeters.
• Je denkt dat de inhoud 2 keer zo groot wordt als alle lengtes 2 keer zo groot worden. Het wordt 8 keer.
• Je geeft het antwoord in cm² of m² in plaats van in cm³ of m³.

In het kort

• Balk: $l\times b\times h$. Prisma: grondvlak keer hoogte. Cilinder: $\pi \times r^2\times h$.
• Kegel en piramide hebben een derde van de inhoud van een cilinder of prisma met dezelfde afmetingen.
• Bol: $\frac{4}{3}\times \pi \times r^3$.
• 1 dm³ is 1 liter en 1 m³ is 1.000 liter.
• Alle lengtes keer $f$: inhoud keer $f^3$.