Samenvatting · Wiskunde A · vwo 6 Telproblemen en combinatoriek

Telproblemen en combinatoriek

Aanpak bij telproblemen

Bepaal eerst welke keuzes worden gemaakt en stel daarbij steeds de volgende vragen:

• Is de volgorde van belang?
• Zijn herhalingen toegestaan?
• Gaat het om een permutatie, een combinatie of een systematische opsomming?
• Moet je aantallen vermenigvuldigen of optellen?

Een telprobleem kan overzichtelijk worden weergegeven met een boomdiagram, wegendiagram, rooster of door systematisch noteren. Een boomdiagram laat alle mogelijkheden afzonderlijk zien; een wegendiagram is vaak handiger bij veel keuzemogelijkheden.

Vermenigvuldigingsregel en somregel

• Bij handeling I en handeling II vermenigvuldig je de aantallen mogelijkheden.
• Bij handeling I of handeling II tel je de aantallen mogelijkheden op, mits de gevallen elkaar uitsluiten.

Als er voor drie opeenvolgende handelingen respectievelijk $4$, $5$ en $2$ mogelijkheden zijn, dan zijn er

mogelijkheden voor de gecombineerde handeling.

Bij routes van $A$ naar $B$ via $P$ of via $Q$, met respectievelijk $3\cdot 4$ en $3\cdot 2$ mogelijkheden, geldt:

Herhaling

Bij drie verschillende bestuursfuncties voor acht personen is herhaling onmogelijk:

Wordt gedurende drie maanden een speler van de maand gekozen uit acht spelers, dan mag dezelfde speler opnieuw gekozen worden:

Permutaties en faculteiten

Een permutatie is een rangschikking: de volgorde is dus van belang en herhaling is niet toegestaan. Het aantal permutaties van $k$ uit $n$ bestaat uit $k$ dalende factoren, beginnend bij $n$.

Voor de gouden, zilveren en bronzen medaille bij acht teams:

Het aantal permutaties van $n$ dingen is $n!$, waarbij

Dus:

Combinaties

Bij een combinatie is de volgorde niet van belang. Het aantal combinaties van $k$ uit $n$ noteer je als

Bij het kiezen van drie leerlingen uit vijf is bijvoorbeeld:

Delen door $3!$ is nodig omdat elke groep van drie leerlingen in $3!$ verschillende volgordes geteld zou worden. Verder geldt:

Rijtjes met letters

Het aantal rijtjes met drie A’s en vijf B’s is:

Voor rijtjes met drie A’s, vier B’s en twee C’s kies je eerst de posities van de A’s en daarna die van de B’s:

Bij negen posities waarin alleen A, B of C mag staan, zijn er zonder voorwaarden:

mogelijke rijtjes.