Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Afgeleide, raaklijn en snelheid

Afgeleide, raaklijn en snelheid

Kernbegrippen

• De afgeleide $f^{\prime }(x)$ beschrijft hoe snel de functiewaarde $f(x)$ verandert bij een bepaalde $x$-waarde.
• In het punt $A(a,f(a))$ is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan:

• Let op het onderscheid:
  • $f(a)$ is de **$y$-coördinaat van het raakpunt;
  • $f^{\prime }(a)$ is de helling van de raaklijn in dat punt.

Raaklijn in een gegeven punt

Als het raakpunt de $x$-coördinaat $a$ heeft, bepaal je de raaklijn algebraïsch in deze stappen:

Dus:

Het raakpunt is $A(4,3)$. De raaklijn heeft dus vorm $y=-2x+b$. Invullen van $A$ geeft:

dus $b=11$. De raaklijn is:

Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt

Heeft een raaklijn richtingscoëfficiënt $m$, dan zoek je eerst alle oplossingen van:

Elke oplossing levert mogelijk een raakpunt op. Daarna bereken je per raakpunt de bijbehorende lijn met $y=mx+b$. Een functie kan dus meerdere raaklijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt hebben.

Snelheid en afgeleide

Bij een tijd-afstandsformule $s(t)$ is de afgeleide $s^{\prime }(t)$ de snelheid. Vaak noteer je:

Als $s$ in meter en $t$ in seconden wordt gemeten, heeft $v$ de eenheid $\text{m/s}$. Bijvoorbeeld: bij $s=2t^2+4t$ geldt

Voor $t=5$ is de snelheid $v=24\text{ m/s}$.