Samenvatting · Wiskunde B · vwo 5 Bewegingsvergelijkingen: baan, snelheid en botsingen

Een bewegend punt, zoals een bal, een schip of een gondel van een reuzenrad, beschrijf je met een positie die van de tijd $t$ afhangt. Na deze samenvatting stel je de baan en de snelheid van een beweging op, bepaal je raaklijnen aan de baan en onderzoek je of twee bewegende punten botsen of dicht bij elkaar komen.

Parametervoorstelling en baan

Een bewegingsvergelijking (parametervoorstelling) geeft de plaats van een punt op tijdstip $t$:

De kromme die het punt doorloopt, heet de baan. Om de vergelijking van de baan te vinden elimineer je $t$.

Voorbeeld 1: $x=2t+1$ en $y=t^2-3$.

Cirkel en ellips: met ${\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)=1$ volgt:

• $x=3\cos (t)$ en $y=3\sin (t)$ geeft $x^2+y^2=9$: een cirkel met straal 3.
• $x=4\cos (t)$ en $y=2\sin (t)$ geeft $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$: een ellips.

Snelheid

De snelheidsvector is de afgeleide van de plaats:

De snelheid (de grootte van de snelheid) is de lengte van die vector: $|\vec{v}(t)|=\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}$. De snelheidsvector wijst langs de raaklijn aan de baan.

Raaklijn aan de baan

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de baan op tijdstip $t$ is:

• De raaklijn is horizontaal als $y^{\prime }(t)=0$ en $x^{\prime }(t)\ne 0$.
• De raaklijn is verticaal als $x^{\prime }(t)=0$ en $y^{\prime }(t)\ne 0$.

Bij de cirkel $x=3\cos (t)$, $y=3\sin (t)$ is $x^{\prime }(t)=-3\sin (t)$ en $y^{\prime }(t)=3\cos (t)$. Voor $t=\frac{1}{2}\pi$ is $y^{\prime }=0$ en $x^{\prime }=-3$: in het hoogste punt $(0,3)$ is de raaklijn horizontaal.

Een worp

Een bal wordt weggeschopt: $x=20t$ en $y=15t-5t^2$, met meters en seconden.

Twee bewegende punten

• Twee punten botsen als ze op hetzelfde tijdstip op dezelfde plaats zijn.
• De banen kruisen elkaar als ze door hetzelfde punt gaan, maar niet op hetzelfde tijdstip.

Een punt $C$ met $x=-1+5t$ en $y=5$ komt op $t=1$ ook in $(4,5)$. Punt $A$ is daar pas op $t=2$. De banen kruisen elkaar dus, maar $A$ en $C$ botsen niet.

Kleinste afstand: Neem $A$ zoals hierboven en $B^{\prime }$: $x=10-3t$, $y=2+2t$.

Minimaliseer de afstand in het kwadraat. De wortel is dan niet nodig, want $d$ en $d^2$ hebben hun minimum bij dezelfde $t$.

Valkuilen

• Snelheid en snelheidsvector verwarren. De snelheid is een getal, de lengte van $\vec{v}$.
• **$\frac{dy}{dx}$ omkeren.** Het is $\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$ en niet $\frac{x^{\prime }(t)}{y^{\prime }(t)}$.
• Botsen en kruisen verwarren. Bij botsen horen beide coördinaten bij dezelfde $t$.
• **Eén $t$ per vergelijking.** Los $x$ en $y$ apart op en controleer of de $t$-waarden gelijk zijn.
• **Het bereik van $t$ vergeten.** Bij een beweging die begint op $t=0$ of eindigt op een gegeven $t$, horen alleen die waarden van $t$ bij de baan.
• De wortel in de afstand meenemen. Dat maakt het differentiëren onnodig lastig.

In het kort

• Een bewegingsvergelijking is $x=x(t)$ en $y=y(t)$; de baan vind je door $t$ te elimineren.
• De snelheidsvector is $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }(t)}{y^{\prime }(t)}\right)$ en de snelheid is de lengte $\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}$.
• De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de baan is $\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$.
• Horizontale raaklijn: $y^{\prime }(t)=0$; verticale raaklijn: $x^{\prime }(t)=0$.
• Botsen: dezelfde plaats op hetzelfde tijdstip; kruisen: dezelfde plaats op een ander tijdstip.
• De kleinste afstand vind je door $d^2$ te minimaliseren.