Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 De absolute-waardefunctie: grafiek, vergelijkingen en ongelijkheden

De absolute waarde van een getal is zijn afstand tot 0. Dat klinkt eenvoudig, maar het maakt van een gewone formule een functie met een knik en van een vergelijking een som van twee gevallen. Na deze samenvatting teken je grafieken met absolute waarden, los je vergelijkingen en ongelijkheden met $||$ op en schrijf je zo'n functie stuksgewijs op.

Wat is de absolute waarde?

De absolute waarde van $x$, geschreven als $|x|$, is de afstand van $x$ tot 0 op de getallenlijn:

Dus $|5|=5$ en $|-5|=5$. Het minteken in $-x$ is geen minteken van het resultaat: voor negatieve $x$ is $-x$ positief.

Rekenregels:

• $|x|\ge 0$, en $|x|=0$ alleen als $x=0$.
• $|-x|=|x|$ en $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$.
• $\sqrt{x^2}=|x|$, niet gewoon $x$.
• $|a-b|$ is de afstand tussen $a$ en $b$. Zo is $|x-4|<3$ te lezen als: $x$ ligt minder dan 3 van 4 af.

Een som werkt niet zo: $|a+b|$ is niet in het algemeen gelijk aan $|a|+|b|$. Neem $a=3$ en $b=-3$: links 0, rechts 6.

De grafiek van de absolute-waardefunctie

De grafiek van $f(x)=|x|$ is een V met de top in $(0,0)$. Rechts van de top is het de lijn $y=x$ en links de lijn $y=-x$. De grafiek is symmetrisch in de $y$-as en heeft in de top een knik. Het bereik is $y\ge 0$.

Met transformaties krijg je $g(x)=a|x-c|+d$:

• de top ligt in $(c,d)$;
• is $a>0$, dan is het een dal, is $a<0$, dan is het een berg;
• $|a|$ bepaalt hoe steil de benen zijn.

Twee varianten met de absolute waarde buiten of binnen:

• $|f(x)|$: klap de delen van de grafiek van $f$ die onder de $x$-as liggen om naar boven (spiegelen in de $x$-as).
• $f(|x|)$: behoud het deel voor $x\ge 0$ en spiegel dat in de $y$-as; het deel voor $x<0$ vervalt.

Vergelijkingen met een absolute waarde

Een absolute waarde is een afstand, dus er horen twee gevallen bij.

• $|A|=c$ met $c>0$: $A=c\vee A=-c$.
• $|A|=0$: $A=0$. Is $c<0$, dan zijn er geen oplossingen.
• $|A|=|B|$: $A=B\vee A=-B$.

Voorbeeld 1: $|2x-5|=7$ geeft $2x-5=7$, dus $x=6$, of $2x-5=-7$, dus $x=-1$.

Voorbeeld 2: $|3x+1|=|x-5|$.

• $3x+1=x-5$ geeft $x=-3$.
• $3x+1=-(x-5)$ geeft $4x=4$, dus $x=1$.
• Controle: bij $x=-3$ is $|-8|=8=|-8|$ en bij $x=1$ is $|4|=|-4|$.

**Voorbeeld 3 (met $x$ aan beide kanten):** $|x-3|=2x$. Omdat $|x-3|\ge 0$ moet $2x\ge 0$ zijn.

• $x-3=2x$ geeft $x=-3$. Dan is $2x=-6<0$: valt af.
• $x-3=-2x$ geeft $x=1$. Controle: $|1-3|=2=2\cdot 1$. Klopt.

Er is dus precies een oplossing, $x=1$. Controleer daarom altijd als de rechterkant een $x$ bevat.

Ongelijkheden met een absolute waarde

Voor $c>0$ geldt:

• $|A|<c$ betekent $-c<A<c$, een interval rond 0 voor $A$;
• $|A|>c$ betekent $A<-c\vee A>c$, twee delen buiten dat interval.

Voorbeeld 1: $|x-4|\le 3$ geeft $-3\le x-4\le 3$, dus $1\le x\le 7$.

Voorbeeld 2: $|2x+1|>5$ geeft $2x+1>5\vee 2x+1<-5$, dus $x>2\vee x<-3$.

**Voorbeeld 3 (met $x$ aan beide kanten):** $|x-2|<2x$. Los eerst de vergelijking $|x-2|=2x$ op.

• $x-2=2x$ geeft $x=-2$: dan is $2x<0$, dit valt af.
• $x-2=-2x$ geeft $x=\frac{2}{3}$. Controle: $|\frac{2}{3}-2|=\frac{4}{3}=2\cdot \frac{2}{3}$. Klopt.

De grafiek van $|x-2|$ ligt voor $x=1$ onder de lijn $y=2x$ (1 tegen 2) en voor $x=0$ erboven (2 tegen 0). De oplossing is dus $x>\frac{2}{3}$.

Een stuksgewijs functievoorschrift

Staan er twee absolute waarden in een functie, dan verdeel je de $x$-as bij de punten waar het binnenste 0 wordt.

De grafiek heeft een vlak stuk op hoogte 3 tussen $x=-2$ en $x=1$. Het bereik is $y\ge 3$.

Valkuilen

• Een tweede geval vergeten. Bij $|A|=c$ horen twee oplossingen $A=c$ en $A=-c$.
• **Niet controleren als $x$ aan beide kanten staat.** Bij $|x-3|=2x$ is $x=-3$ een schijnoplossing.
• **$|a+b|$ uitsplitsen.** Dat is niet $|a|+|b|$.
• **Bij $|A|>c$ de twee delen verbinden met "en".** De oplossing is $A<-c$ of $A>c$.
• **Een ongelijkheid $|A|<c$ met een negatieve $c$.** Er zijn dan geen oplossingen, want een afstand is nooit negatief.
• **$\sqrt{x^2}=x$ schrijven.** Dat klopt alleen voor $x\ge 0$; in het algemeen is het $|x|$.
• In de top een raaklijn willen. De grafiek van $|x|$ heeft in $x=0$ een knik, dus daar bestaat de afgeleide niet.

In het kort

• $|x|$ is $x$ voor $x\ge 0$ en $-x$ voor $x<0$: de afstand tot 0.
• De grafiek van $a|x-c|+d$ is een V met top $(c,d)$; bij $|f(x)|$ klap je het deel onder de $x$-as om.
• $|A|=c$: $A=c\vee A=-c$. $|A|=|B|$: $A=B\vee A=-B$. Controleer als er $x$ aan beide kanten staat.
• $|A|<c$: $-c<A<c$. $|A|>c$: $A<-c\vee A>c$.
• Bij meer absolute waarden splits je de $x$-as bij de knikpunten.