Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 De afgeleide: differentiequotiënt, limiet en raaklijn

De afgeleide is het fundament van de differentiaalrekening: hij beschrijft hoe snel een functie op één moment verandert. Na deze samenvatting bereken je gemiddelde en momentane verandering, bepaal je een afgeleide met een limiet, gebruik je de machtsregel en stel je raaklijnen op, ook vanuit een punt buiten de grafiek.

Gemiddelde verandering en snelheid

Het differentiequotiënt van $f$ op $[a,b]$ is de gemiddelde verandering:

Het is de richtingscoëfficiënt van de lijn door $(a,f(a))$ en $(b,f(b))$.

De snelheid op één moment, de momentane snelheid, vind je door het interval steeds kleiner te maken. Dat is de afgeleide.

De afgeleide als limiet

De afgeleide van $f$ in $x=a$ is de limiet van het differentiequotiënt als het interval krimpt tot een punt:

Dit getal is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt $(a,f(a))$. Andere notaties zijn $\frac{df}{dx}$ en $\frac{dy}{dx}$.

Voorbeelden: Bij het invullen van $h=0$ zou je door 0 delen. Werk daarom eerst de teller uit en deel $h$ weg.

• $f(x)=x^2$: $\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h$. Voor $h\to 0$ is dat $2a$, dus $f^{\prime }(a)=2a$.
• $f(x)=x^3$: $\frac{(a+h{)}^3-a^3}{h}=3a^2+3ah+h^2$. Voor $h\to 0$ geeft dat $f^{\prime }(a)=3a^2$.
• $f(x)=\frac{1}{x}$: $\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}=\frac{-h}{a(a+h)h}=\frac{-1}{a(a+h)}$. Voor $h\to 0$ geeft dat $f^{\prime }(a)=-\frac{1}{a^2}$.

Heeft de grafiek in een punt een knik, dan bestaat de afgeleide daar niet. Zo heeft $f(x)=|x|$ in $x=0$ geen raaklijn.

Rekenregels

• Constante: $f(x)=c$ geeft $f^{\prime }(x)=0$.
• Machtsregel: $f(x)=x^n$ geeft $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$, voor elk getal $n$ (ook negatief of gebroken).
• Constante factor: $(c\cdot f(x){)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }(x)$.
• Somregel: $(f(x)+g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.

Herschrijf eerst wortels en breuken tot machten van $x$.

• $f(x)=x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$ geeft $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
• $f(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-x^{-1}$ geeft $f^{\prime }(x)=1+x^{-2}=1+\frac{1}{x^2}$.

De machtsregel geldt voor $x^n$ met een vaste exponent, niet voor een functie als $2^x$.

Raaklijnen

De raaklijn in $(a,f(a))$ heeft vergelijking:

Voorbeeld 1: Stel de raaklijn op aan $f(x)=\sqrt{x}$ in $x=4$.

Voorbeeld 2 (vanuit een punt buiten de grafiek): Stel de raaklijnen op aan $f(x)=x^2$ die door $(0,-4)$ gaan.

Stijgen, dalen en extremen

• $f^{\prime }(x)>0$: $f$ is stijgend. $f^{\prime }(x)<0$: $f$ is dalend.
• In een top of dal is $f^{\prime }(x)=0$ en wisselt $f^{\prime }$ van teken.

Valkuilen

• **$h=0$ invullen vóór het wegdelen.** Dat geeft $\frac{0}{0}$. Werk eerst de teller uit.
• Het differentiequotiënt voor de afgeleide aanzien. Het differentiequotiënt hoort bij een interval en de afgeleide bij één punt.
• De raaklijn vergeten te verschuiven. De raaklijn is $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ en niet $y=f^{\prime }(a)\cdot x$.
• De machtsregel te breed toepassen. De afgeleide van $2^x$ is niet $x\cdot 2^{x-1}$.
• Aannemen dat elke grafiek overal een raaklijn heeft. In een knik bestaat de afgeleide niet.
• Bij een raaklijn vanuit een punt het raakpunt als bekend aannemen. Noem het raakpunt $(p,f(p))$ en bepaal $p$.

In het kort

• Het differentiequotiënt $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ is de gemiddelde verandering op een interval.
• $f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ is de momentane verandering en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
• Machtsregel: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; werk met de somregel en de constante factor term voor term.
• Raaklijn in $x=a$: $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.
• Stijgend en dalend volgen uit het teken van $f^{\prime }$; extremen liggen waar $f^{\prime }$ van teken wisselt.