Samenvatting · Wiskunde B · vwo 5 e-machten en ln: rekenen, vergelijkingen en differentiëren

Het getal $e$ en de natuurlijke logaritme komen in de bovenbouw overal terug: bij groei en verval, bij afgeleiden en bij vergelijkingen. Na deze samenvatting reken je met $e^x$ en $\ln (x)$, los je vergelijkingen op, differentieer je ze en gebruik je ze in groeimodellen.

Het getal e en de natuurlijke logaritme

Het getal $e\approx 2,71828$ is het grondtal waarvoor de functie $f(x)=e^x$ zijn eigen afgeleide is: $f^{\prime }(x)=e^x$. De helling van de grafiek is in elk punt gelijk aan de hoogte. In het punt $(0,1)$ is de raaklijn de lijn $y=x+1$.

De natuurlijke logaritme is de logaritme met grondtal $e$:

Het domein van $\ln (x)$ is $x>0$. Er geldt $\ln (1)=0$, $\ln (e)=1$, $e^{\ln (a)}=a$ (voor $a>0$) en $\ln (e^x)=x$. Elke exponentiële functie kun je met $e$ schrijven: $g^x=e^{x\cdot \ln (g)}$. Zo is $2^x=e^{x\ln (2)}\approx e^{0,693x}$.

Rekenregels

Voor $a>0$ en $b>0$ geldt:

• $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$
• $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$
• $\ln (a^p)=p\cdot \ln (a)$

Voorbeelden:

• $2\ln (3)-\ln (18)=\ln (9)-\ln (18)=\ln \left(\frac{9}{18}\right)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)$.
• $e^{2\ln (5)}=e^{\ln (25)}=25$.

Vergelijkingen oplossen

Een vergelijking met $e^x$ los je op met $\ln$, en een vergelijking met $\ln (x)$ los je op met $e^{\dots }$.

Omdat $e^x$ altijd positief is, heeft $e^x=-2$ geen oplossing.

Afgeleiden

Voorbeeld 1: $f(x)=x\ln (x)$ met $x>0$.

Voorbeeld 2: $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

Voorbeeld 3: Raaklijn aan $f(x)=\ln (3x-2)$ in $x=1$. Het domein is $x>\frac{2}{3}$. Er geldt $f(1)=\ln (1)=0$ en $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x-2}$, dus $f^{\prime }(1)=3$. De raaklijn is $y=3(x-1)=3x-3$.

Groei en verval met e

Exponentiële groei schrijf je als $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$. Het verband met de groeifactor per tijdseenheid is $g=e^k$, dus $k=\ln (g)$. Bij verval is $k$ negatief.

• Groeit iets met 3% per jaar, dan is $g=1,03$ en $k=\ln (1,03)\approx 0,0296$. De verdubbelingstijd volgt uit $e^{kt}=2$, dus $t=\frac{\ln (2)}{k}\approx 23,4$ jaar.
• Bij een halveringstijd van 5 dagen is $e^{-5k}=\frac{1}{2}$, dus $k=\frac{\ln (2)}{5}\approx 0,139$.
• De afgeleide van $N(t)=200e^{0,3t}$ is $N^{\prime }(t)=60e^{0,3t}=0,3\cdot N(t)$. De groeisnelheid is dus evenredig met de hoeveelheid zelf. Bij $t=10$ is $N(10)=200e^3\approx 4017$ en $N^{\prime }(10)\approx 1205$.

Valkuilen

• Een som in een logaritme splitsen. $\ln (a+b)$ is niet $\ln (a)+\ln (b)$.
• **De machtsregel bij $e^{2x}$.** De afgeleide is $2e^{2x}$ en niet $2x\cdot e^{2x-1}$.
• Kettingregel vergeten. De afgeleide van $e^{x^2}$ is $2x{e}^{x^2}$ en die van $\ln (3x-2)$ is $\frac{3}{3x-2}$.
• Het domein vergeten. $\ln$ bestaat alleen voor positieve getallen; controleer je oplossingen.
• **$\ln (x^2)$ en $2\ln (x)$ gelijkstellen.** $\ln (x^2)=2\ln (|x|)$; voor negatieve $x$ bestaat $\ln (x)$ niet.
• **$\log$ en $\ln$ verwarren.** $\log$ heeft grondtal 10 en $\ln$ heeft grondtal $e$.

In het kort

• $e\approx 2,718$; $f(x)=e^x$ is zijn eigen afgeleide en $\ln (x)={}^e\log (x)$ is de inverse functie.
• $g^x=e^{x\ln (g)}$; rekenregels: $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$, $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$, $\ln (a^p)=p\ln (a)$.
• $e^x=a$ geeft $x=\ln (a)$ en $\ln (x)=a$ geeft $x=e^a$; controleer het domein.
• Afgeleiden: $(e^{ax+b}{)}^{\prime }=a{e}^{ax+b}$, $(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $(g^x{)}^{\prime }=g^x\ln (g)$.
• Bij $N(t)=N_0{e}^{kt}$ is $k=\ln (g)$ en is $N^{\prime }(t)=k\cdot N(t)$.