Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Exponentiële en logaritmische functies en vergelijkingen

Exponentiële en logaritmische functies zijn elkaars omgekeerde. Na deze samenvatting ken je hun grafieken, gebruik je de rekenregels voor logaritmen, bepaal je een inverse functie en los je exponentiële en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden op, ook met substitutie.

Exponentiële functies

Een exponentiële functie heeft de vorm $f(x)=b\cdot g^x$ met grondtal $g>0$ en $g\ne 1$.

• Voor $b>0$ is het bereik $y>0$ en de $x$-as is de horizontale asymptoot.
• Bij $g>1$ is de grafiek stijgend en bij $0<g<1$ is hij dalend.
• De grafiek gaat door $(0,b)$.
• Er geldt ${\left(\frac{1}{g}\right)}^x=g^{-x}$. De grafiek van ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ is dus de spiegeling van die van $2^x$ in de $y$-as.

Logaritmen en rekenregels

De logaritme ${}^g\log (a)$ is de exponent waarmee je $g$ moet verheffen om $a$ te krijgen:

Dus ${}^g\log (1)=0$, ${}^g\log (g)=1$, ${}^g\log (g^k)=k$ en $g^{{}^g\log (a)}=a$.

Voor $a>0$ en $b>0$ geldt:

De laatste regel wisselt het grondtal. Op de GR kies je $p=10$ en dus ${}^g\log (a)=\frac{\log (a)}{\log (g)}$.

De inverse functie

De inverse van $f(x)=g^x$ is $f^{-1}(x)={}^g\log (x)$. De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y=x$. Domein en bereik wisselen van plaats.

Exponentiële vergelijkingen

• Zelfde grondtal: $3^{2x-1}=81$ geeft $3^{2x-1}=3^4$, dus $2x-1=4$ en $x=2\frac{1}{2}$.
• Logaritme nemen: $3^x=20$ geeft $x={}^3\log (20)=\frac{\log (20)}{\log (3)}\approx 2,73$.
• Aan beide kanten een ander grondtal: $2^{x+1}=3^x$. Neem aan beide kanten de logaritme: $(x+1)\cdot \log (2)=x\cdot \log (3)$. Dat geeft $x(\log (3)-\log (2))=\log (2)$, dus $x=\frac{\log (2)}{\log (3)-\log (2)}\approx 1,71$.
• Substitutie: $4^x-3\cdot 2^x-4=0$. Schrijf $4^x=(2^x{)}^2$ en stel $u=2^x$. Dan is $u^2-3u-4=0$, dus $(u-4)(u+1)=0$. Omdat $2^x$ altijd positief is, valt $u=-1$ af. Uit $2^x=4$ volgt $x=2$.

Logaritmische vergelijkingen

Het getal tussen de haakjes moet positief zijn. Bepaal daarom eerst het domein.

Voorbeeld 1: ${}^2\log (x+1)+{}^2\log (x-1)=3$ met domein $x>1$.

Voorbeeld 2: ${}^2\log (x)=1+{}^2\log (x-3)$ met domein $x>3$. Omdat $1={}^2\log (2)$ is dit ${}^2\log (x)={}^2\log (2(x-3))$, dus $x=2x-6$ en $x=6$.

Voorbeeld 3: $({}^2\log (x){)}^2-3\cdot {}^2\log (x)+2=0$. Stel $u={}^2\log (x)$. Dan is $u^2-3u+2=0$, dus $u=1\vee u=2$ en dus $x=2\vee x=4$.

Ongelijkheden

• Bij een grondtal $g>1$ blijft het teken gelijk: $2^x>8$ geeft $x>3$.
• Bij een grondtal $0<g<1$ draait het teken om: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>4$ geeft $2^{-x}>2^2$, dus $-x>2$ en $x<-2$.
• Bij logaritmen hoort het domein erbij: ${}^2\log (x)<3$ geeft $x<2^3$ en met $x>0$ dus $0<x<8$.

Grafieken van logaritmische functies

Bij $f(x)={}^2\log (x-1)+3$ is het domein $x>1$ en de verticale asymptoot $x=1$. Het nulpunt volgt uit ${}^2\log (x-1)=-3$, dus $x-1=2^{-3}=\frac{1}{8}$ en $x=1\frac{1}{8}$.

Een vermenigvuldiging in de $x$-richting is bij een logaritme een verschuiving omhoog: ${}^2\log (4x)={}^2\log (4)+{}^2\log (x)=2+{}^2\log (x)$.

Valkuilen

• Een som in een logaritme splitsen. ${}^g\log (a+b)$ is niet ${}^g\log (a)+{}^g\log (b)$.
• Het domein vergeten. Bij elke logaritme moet het argument positief zijn. Controleer daarom je oplossingen.
• **Het teken bij $0<g<1$.** Dan draait een ongelijkheid om.
• **$u=2^x$ negatief toelaten.** Een macht met positief grondtal is altijd positief.
• **$2^{x+1}$ verkeerd herleiden.** Het is $2\cdot 2^x$ en niet $2^x+1$.
• Een quotiënt van logaritmen verwarren met de logaritme van een quotiënt. $\frac{{}^g\log (a)}{{}^g\log (b)}$ is niet gelijk aan ${}^g\log \left(\frac{a}{b}\right)$.

In het kort

• ${}^g\log (a)=x$ betekent $g^x=a$, met $a>0$; $g^x$ en ${}^g\log (x)$ zijn elkaars inverse (spiegelen in $y=x$).
• Optellen van logaritmen is vermenigvuldigen van argumenten, aftrekken is delen en een factor wordt een exponent.
• Grondtal wisselen: ${}^g\log (a)=\frac{{}^p\log (a)}{{}^p\log (g)}$.
• Exponentiële vergelijkingen los je op met hetzelfde grondtal, met een logaritme of met substitutie.
• Controleer bij logaritmische vergelijkingen altijd het domein.
• Bij een grondtal tussen 0 en 1 draait een ongelijkheid om.