Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Functies: domein, bereik, samengestelde en inverse functies

Functies zijn de bouwstenen van wiskunde B. Voordat je ze combineert of omkeert, moet je weten voor welke $x$ ze bestaan en welke waarden ze aannemen. Na deze samenvatting bepaal je domein en bereik, schakel je functies achter elkaar, stel je de formule van een inverse functie op en weet je wanneer een functie een inverse heeft.

Functie, domein en bereik

Een functie koppelt aan elke $x$ uit het domein precies een $y$. Het domein $D_f$ is de verzameling van alle toegestane $x$-waarden. Het bereik $B_f$ is de verzameling van alle $y$-waarden die de functie aanneemt. Wat je niet mag doen, sluit je uit van het domein:

• delen door 0, dus de noemer mag niet 0 zijn;
• de wortel uit een negatief getal;
• de logaritme van een getal dat niet positief is.

Het bereik van $h$ vind je uit de top: $h(x)=(x-2{)}^2-4$ heeft zijn minimum $-4$ bij $x=2$.

Functies combineren

Uit twee functies maak je nieuwe functies met een som $f(x)+g(x)$, een verschil, een product of een quotiënt. Je kunt ze ook achter elkaar schakelen: eerst $g$, dan $f$. Dat heet een samengestelde functie of kettingfunctie, $f(g(x))$.

De volgorde maakt dus uit: $f(g(x))$ is niet gelijk aan $g(f(x))$. In $f(g(x))$ is $g(x)$ de binnenfunctie en $f$ de buitenfunctie.

Domein van een samengestelde functie

Voor $f(g(x))$ moet $x$ in het domein van $g$ liggen en $g(x)$ in het domein van $f$.

Bepaal het domein dus altijd voordat je vereenvoudigt.

De inverse functie

De inverse functie $f^{-1}$ maakt $f$ ongedaan: $f^{-1}(f(x))=x$ en $f(f^{-1}(x))=x$. Als $f(2)=7$, dan is $f^{-1}(7)=2$.

• De grafiek van $f^{-1}$ is het **spiegelbeeld van de grafiek van $f$ in de lijn $y=x$**.
• Domein en bereik wisselen van plaats: $D_{f^{-1}}=B_f$ en $B_{f^{-1}}=D_f$.
• $f^{-1}(x)$ is niet $\frac{1}{f(x)}$. Het hoge $-1$ is hier een naam, geen exponent.

Wanneer bestaat de inverse? Elke $y$ moet bij precies een $x$ horen. Een functie die op zijn domein steeds stijgt of steeds daalt heeft een inverse. Een horizontale lijn snijdt de grafiek dan hoogstens een keer. De functie $x^2$ op alle $x$ heeft geen inverse, want $y=4$ hoort bij $x=2$ en $x=-2$. Beperk je het domein tot $x\ge 0$, dan wel: de inverse is $\sqrt{x}$.

De inverse opstellen

Voorbeeld 1: $f(x)=3x-6$. Uit $y=3x-6$ volgt $x=\frac{y+6}{3}$, dus $f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}$.

Voorbeeld 2 (wortel): $f(x)=2+\sqrt{x-1}$ met domein $x\ge 1$ en bereik $y\ge 2$. Uit $y-2=\sqrt{x-1}$ volgt $x=(y-2{)}^2+1$. Dus $f^{-1}(x)=(x-2{)}^2+1$ met domein $x\ge 2$.

Voorbeeld 3 (parabool met beperkt domein): $f(x)=x^2-4x$ voor $x\ge 2$. Er geldt $y=(x-2{)}^2-4$, dus $(x-2{)}^2=y+4$. Omdat $x\ge 2$ is $x-2\ge 0$, dus $x=2+\sqrt{y+4}$. De inverse is $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+4}$ met domein $x\ge -4$, het bereik van $f$.

Voorbeeld 4 (exponentieel): $f(x)=2^x+1$. Uit $y-1=2^x$ volgt $x={}^2\log (y-1)$. Dus $f^{-1}(x)={}^2\log (x-1)$ met domein $x>1$.

Voorbeeld 5 (breuk): $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$. Uit $y(x-3)=2x+1$ volgt $yx-2x=3y+1$, dus $x(y-2)=3y+1$ en $x=\frac{3y+1}{y-2}$. Dus $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}$. Het domein van $f$ is $x\ne 3$ en het bereik is $y\ne 2$: die wisselen bij de inverse.

Inverse functies van standaardfuncties

Een inverse en de lijn $y=x$

Voor een stijgende functie liggen de snijpunten van $f$ en $f^{-1}$ op de lijn $y=x$. Je vindt ze met $f(x)=x$.

Valkuilen

• **$f^{-1}$ aanzien voor $\frac{1}{f}$.** De inverse draait het verband om, het omgekeerde is iets anders.
• De volgorde bij schakelen omdraaien. In $f(g(x))$ werk je eerst $g$ uit.
• Het domein na vereenvoudigen bepalen. Het domein van $g(f(x))=x-9$ bij $f(x)=\sqrt{x}$ is niet alle $x$, maar $x\ge 0$.
• De inverse zonder domein opschrijven. Het domein van $f^{-1}$ is het bereik van $f$.
• Bij een parabool het domein niet beperken. Zonder beperking heeft $x^2$ geen inverse.
• **De namen $x$ en $y$ niet wisselen.** Na het oplossen van $x$ schrijf je de formule met $x$ als variabele.
• De spiegelas verkeerd kiezen. De inverse spiegelt in $y=x$, niet in de $x$-as of $y$-as.

In het kort

• Domein: de toegestane $x$; bereik: de aangenomen $y$. Sluit nulpunten van de noemer, negatieve wortelargumenten en niet-positieve logaritme-argumenten uit.
• $f(g(x))$: eerst $g$, dan $f$. Het domein vraagt $x\in D_g$ en $g(x)\in D_f$. De volgorde maakt uit.
• Een functie die steeds stijgt of steeds daalt heeft een inverse; spiegel in $y=x$ en wissel domein en bereik.
• Inverse opstellen: $x$ oplossen uit $y=f(x)$, namen wisselen, domein van $f^{-1}$ is het bereik van $f$.