Samenvatting · Wiskunde B · vwo 6 Goniometrische functies differentiëren en integreren

Sinus en cosinus beschrijven golven, trillingen en getijden. Met differentiëren vind je hoe snel zo'n verschijnsel verandert en met integreren bereken je oppervlaktes en inhouden onder en rond sinusoïden. Na deze samenvatting differentieer je goniometrische functies met alle regels, bepaal je extremen en maximale snelheden en bereken je primitieven en bepaalde integralen van sinus en cosinus.

De afgeleiden van sinus en cosinus

Voor $x$ in radialen geldt:

Differentieer je meerdere keren, dan komt de reeks $\sin x\to \cos x\to -\sin x\to -\cos x\to \sin x$ steeds terug. Zo is $(\sin x{)}^{\prime \prime }=-\sin x$. Met de quotiëntregel vind je ook $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Waarom radialen? De regel $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ volgt uit ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$, en dat klopt alleen als $h$ in radialen staat. Zet je GR dus op RADIAN bij alles met afgeleiden en integralen van sinus en cosinus.

Met de kettingregel: de afgeleide van $\sin (ax+b)$ is $a\cos (ax+b)$, en van $\cos (ax+b)$ is $-a\sin (ax+b)$.

Voor een sinusoïde $f(x)=d+a\sin (b(x-c))$ is $f^{\prime }(x)=ab\cos (b(x-c))$. De grootste helling is dus $|ab|$: amplitude keer $b$.

Combineren met de differentieerregels

Bij ${\sin }^{2}x$ bedoel je $(\sin x{)}^2$. De buitenfunctie is kwadrateren, de binnenfunctie is $\sin x$. Dat is iets anders dan $\sin (x^2)$, waar de binnenfunctie $x^2$ is.

Extremen en snelheid

Extremen vind je waar $f^{\prime }(x)=0$ en het teken van $f^{\prime }$ wisselt. De tweede afgeleide helpt bij het onderscheid: $f^{\prime \prime }(x)<0$ betekent een maximum, $f^{\prime \prime }(x)>0$ een minimum.

Voorbeeld 1: $f(x)=2\sin x+x$ op $[0,2\pi ]$.

Voorbeeld 2 (getij): De waterhoogte is $h(t)=2+1,5\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)$ meter, met $t$ in uren. Dan is $h^{\prime }(t)=1,5\cdot \frac{\pi }{6}\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=\frac{\pi }{4}\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)$. Het water stijgt het snelst als $\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=1$, bijvoorbeeld bij $t=0$, met $\frac{\pi }{4}\approx 0,79$ meter per uur.

Primitieven van sinus en cosinus

Omdat $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ en $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ geldt:

Voor een lineaire binnenfunctie deel je door $a$, omdat de kettingregel een factor $a$ toevoegt:

**Voor ${\sin }^{2}x$** heb je een formule nodig. Uit $\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x$ volgt ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$, dus

De bepaalde integraal

Met de hoofdstelling is ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, waarbij $F$ een primitieve van $f$ is.

Voorbeeld 1: ${\int }_0^{\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi }=-\cos \pi +\cos 0=1+1=2$. De oppervlakte onder een boog van de sinus is dus 2.

Voorbeeld 2: ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos (2x)dx={\left[\frac{1}{2}\sin (2x)\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-0=\frac{1}{2}$.

Voorbeeld 3 (integraal is niet gelijk aan oppervlakte): ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{2\pi }=-1+1=0$, omdat het positieve en het negatieve deel elkaar opheffen. De oppervlakte tussen de grafiek en de $x$-as is $2+2=4$. Splits bij een tekenwisseling.

Oppervlakte tussen twee grafieken

De oppervlakte tussen $f$ en $g$ is ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ als $f\ge g$ op $[a,b]$.

Dat is ongeveer 2,83.

Inhoud van een omwentelingslichaam

Wentel je de grafiek van $y=f(x)$ tussen $x=a$ en $x=b$ om de $x$-as, dan is de inhoud $V=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$.

Valkuilen

• De GR op graden laten staan. De formules voor afgeleiden en integralen gelden voor radialen.
• **De factor $a$ vergeten.** De afgeleide van $\sin (3x)$ is $3\cos (3x)$, en de primitieve is $-\frac{1}{3}\cos (3x)$.
• **Het teken bij cosinus en bij $\int \sin x$ mixen.** $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, maar $\int \sin xdx=-\cos x$; de primitieve van $\cos x$ is $+\sin x$.
• **${\sin }^{2}x$ en $\sin (x^2)$ door elkaar halen.** Ze hebben een andere binnenfunctie en dus een andere afgeleide.
• Integraal en oppervlakte gelijkstellen. Bij een tekenwisseling splits je en tel je de oppervlaktes op.
• **$\int {\sin }^{2}xdx$ behandelen als $\int \sin xdx$.** Je kunt een macht niet zomaar wegintegreren; gebruik ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$.
• Een primitieve niet controleren. Differentieer je antwoord terug om te zien of je de oorspronkelijke functie krijgt.

In het kort

• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ en $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, voor $x$ in radialen. Met de kettingregel: $(\sin (ax+b){)}^{\prime }=a\cos (ax+b)$.
• Sinusoïde $d+a\sin (b(x-c))$: de maximale helling is $|ab|$.
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$ en $\int \cos xdx=\sin x+C$; bij $ax+b$ deel je door $a$.
• Voor ${\sin }^{2}x$ of ${\cos }^{2}x$ gebruik je de verdubbelingsformule $\cos (2x)=1-2{\sin }^{2}x$.
• Oppervlakte: splits bij een tekenwisseling. Inhoud om de $x$-as: $V=\pi \int (f(x){)}^{2}dx$.