Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Helling, verandering en afgeleiden

Helling, verandering en afgeleiden

Gemiddelde verandering: het differentiequotiënt

Bij een functie beschrijft het differentiequotiënt de gemiddelde verandering van $y$ als $x$ verandert op een interval $[a,b]$:

Dit is tegelijk de richtingscoëfficiënt (helling) van de lijn door de punten $A(a,f(a))$ en $B(b,f(b))$: de secant door twee punten van de grafiek.

• $\Delta x=b-a$ is de horizontale verandering.
• $\Delta y=f(b)-f(a)$ is de verticale verandering.
• Een positieve uitkomst betekent gemiddeld stijgend; een negatieve uitkomst gemiddeld dalend.

De gemiddelde verandering is dus $2$.

Gemiddelde snelheid en snelheid op één moment

In een tijd-afstandgrafiek is de gemiddelde snelheid:

met als eenheid bijvoorbeeld m/s of km per minuut. Deze snelheid is de richtingscoëfficiënt van de lijn tussen twee punten op de grafiek.

De snelheid op één tijdstip $t=a$ benader je met een zeer klein tijdsinterval, bijvoorbeeld $[a,a+0,01]$:

Als het interval steeds kleiner wordt, nadert de secant de raaklijn in het betreffende punt. De richtingscoëfficiënt van die raaklijn is de helling van de grafiek en dus de snelheid op dat moment.

Hellinggrafiek en afgeleide functie

De hellinggrafiek geeft voor elke $x$-waarde de helling van de grafiek van $f$. Deze grafiek is de grafiek van de afgeleide functie.

Bij een top of dal is de raaklijn horizontaal. De helling is dan $0$. Daarom heeft de hellinggrafiek daar een snijpunt met de $x$-as.

De grootte van de helling is ook belangrijk: waar $f$ het steilst stijgt, heeft de hellinggrafiek een hoog punt. Waar $f$ het steilst daalt, is de hellinggrafiek sterk negatief.

Soorten van stijgen en dalen

Naast stijgend of dalend kun je kijken hoe de helling verandert:

• constante stijging: positieve, constante helling;
• toenemende stijging: positieve helling die groter wordt;
• afnemende stijging: positieve helling die kleiner wordt;
• constante daling: negatieve, constante helling;
• toenemende daling: negatieve helling die steeds sterker negatief wordt;
• afnemende daling: negatieve helling die minder negatief wordt.

Bij het noemen van stijgende en dalende intervallen gebruik je de grootst mogelijke open intervallen, bijvoorbeeld $⟨3,6⟩$. De grenspunten horen dan niet bij het interval.