COMMUNITY

Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Kwadratische functies en vergelijkingen

Leerling vwo 4

Wiskunde BVak

WAT ZIT ERIN

1Kwadratische functies en vergelijkingen Kwadratische functie en parabool Een tweedegraadsfunctie heeft de vorm f(x)=ax²+bx+c met a≠0. De grafiek is een parabool. - Bij a>0 is er een dalparabool: de top geeft een minimum. - Bij…

Bewaar deze samenvatting

Kwadratische functies en vergelijkingen

Kwadratische functie en parabool

Een tweedegraadsfunctie heeft de vorm

f (x) = a x^{2} + b x + c met a \neq = 0.

De grafiek is een parabool.

Bij $a > 0$ is er een dalparabool: de top geeft een minimum.
Bij $a < 0$ is er een bergparabool: de top geeft een maximum.
De constante $c$ is de functiewaarde bij $x = 0$ , dus het snijpunt met de $y$ -as.

De nulpunten zijn de $x$ -waarden waarvoor $f (x) = 0$ . De bijbehorende snijpunten met de $x$ -as hebben coördinaten $(x, 0)$ . Een nulpunt zelf is dus een getal, geen punt.

f (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3) .

Uit

(x + 1) (x - 3) = 0

volgt

x = - 1 \lor x = 3.

De nulpunten zijn dus $- 1$ en $3$ .

Top en extreme waarde

Voor

f (x) = a x^{2} + b x + c

geldt:

x_{top} = - \frac{b}{2 a}, y_{top} = f (x_{top}) .

De extreme waarde is de $y$ -coördinaat van de top. Vermeld ook bij welke $x$ -waarde deze wordt bereikt.

Voor $g (x) = - x^{2} + 4 x - 1$ :

x_{top} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2.

Daarna:

y_{top} = g (2) = - (2)^{2} + 4 \cdot 2 - 1 = 3.

Omdat $a = - 1 < 0$ , is dit een maximum. Het maximum is $3$ , bereikt voor $x = 2$ .

Tweedegraadsvergelijkingen oplossen

Een tweedegraadsvergelijking heeft de vorm

a x^{2} + b x + c = 0 met a \neq = 0.

Kies een passende methode.

Type	Aanpak	Voorbeeld
$a x^{2} + b x = 0$	Breng $x$ buiten haakjes.	$x^{2} - 5 x = 0 \Rightarrow x (x - 5) = 0$ , dus $x = 0 \lor x = 5$ .
$a x^{2} + c = 0$	Herleid tot $x^{2} =$ getal.	$3 x^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4$ , dus $x = 2 \lor x = - 2$ .
Drie termen, te ontbinden	Gebruik de product-som-methode.	$x^{2} - 6 x - 7 = 0 \Rightarrow (x + 1) (x - 7) = 0$ .
Drie termen, niet te ontbinden	Gebruik de abc-formule.	Zie hieronder.

Bij een product geldt:

A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0 \lor B = 0.

Discriminant en abc-formule

Voor een vergelijking

a x^{2} + b x + c = 0

is de discriminant

D = b^{2} - 4 a c .

Discriminant	Aantal oplossingen	Ligging parabool ten opzichte van de $x$ -as
$D > 0$	twee	twee snijpunten
$D = 0$	één	één raakpunt
$D < 0$	geen	geen snijpunt

Als de vergelijking niet te ontbinden is, gebruik je:

x = \frac{- b + D}{2 a} \lor x = \frac{- b - D}{2 a} .

Bijvoorbeeld voor $x^{2} + 7 x + 2 = 0$ :

D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 41.

Dus:

x = \frac{- 7 + 41}{2} \lor x = \frac{- 7 - 41}{2} .

Werk exact: vereenvoudig breuken en haal een zo groot mogelijke kwadraatfactor buiten een wortel, bijvoorbeeld

48 = 43 .

Parameter $p$

Bij een functie als

f_{p} (x) = x^{2} + p x + 9

hangt de vorm of ligging van de parabool af van $p$ . Een negatief minimum betekent bij deze dalparabool dat de grafiek de $x$ -as tweemaal snijdt. Daarom moet $D > 0$ :

D = p^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = p^{2} - 36 > 0.

Dus:

p^{2} > 36 \Rightarrow p < - 6 \lor p > 6.

Zo verbind je voorwaarden over minimum, maximum of snijpunten rechtstreeks met de discriminant of met de top.

Meer Wiskunde B uit de Oefentoetsen

VRAAG 1 · KWADRATISCHE FUNCTIES EN VERGELIJKINGEN

Oefentoets

9 vragen

Kwadratische functies en vergelijkingen

Wiskunde B · vwo 4

VRAAG 1 · AFGELEIDE, RAAKLIJN EN SNELHEID

Oefentoets

9 vragen

Afgeleide, raaklijn en snelheid

Wiskunde B · vwo 4

VRAAG 1 · LINEAIRE VERBANDEN EN LIJNEN

Oefentoets

8 vragen

Lineaire verbanden en lijnen

Wiskunde B · vwo 4

VRAAG 1 · HELLING, VERANDERING EN AFGELEIDEN

Oefentoets

9 vragen

Helling, verandering en afgeleiden

Wiskunde B · vwo 4

Bekijk alles voor wiskunde B vwo

Staat hier iets dat niet klopt of niet hoort? .

Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Kwadratische functies en vergelijkingen

Kwadratische functies en vergelijkingen

Kwadratische functie en parabool

Top en extreme waarde

Tweedegraadsvergelijkingen oplossen

Discriminant en abc-formule

Parameter p

Meer Wiskunde B uit de Oefentoetsen

Kwadratische functies en vergelijkingen

Afgeleide, raaklijn en snelheid

Lineaire verbanden en lijnen

Helling, verandering en afgeleiden

Probeer het met je volgende toets

Parameter $p$