Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Lijnen en cirkels: vergelijkingen, snijpunten en raaklijnen

Met een coördinatenstelsel reken je aan meetkunde: afstanden, hoeken, middelloodlijnen en raaklijnen krijgen een formule. Na deze samenvatting stel je vergelijkingen op van lijnen en cirkels, bereken je snijpunten en stel je raaklijnen aan een cirkel op.

Lijnen

Een lijn heeft de vorm $y=ax+b$ met richtingscoëfficiënt $a$. Een verticale lijn is $x=c$ en heeft geen richtingscoëfficiënt. Ook de vorm $px+qy=r$ komt voor.

• De richtingscoëfficiënt door $A(x_A,y_A)$ en $B(x_B,y_B)$ is $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Twee lijnen zijn evenwijdig als $a_1=a_2$ en loodrecht als $a_1\cdot a_2=-1$.
• De afstand tussen $A$ en $B$ is $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Het midden van $AB$ is $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• De hoek $\alpha$ van een lijn met de positieve $x$-as voldoet aan $\tan (\alpha )=a$.

De cirkel

De cirkel met middelpunt $M(a,b)$ en straal $r$ heeft vergelijking:

Een punt ligt op de cirkel als zijn afstand tot $M$ gelijk is aan $r$, binnen de cirkel als die afstand kleiner is en erbuiten als die groter is.

Voorbeelden:

• Middelpunt $M(2,-1)$ en straal 3: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$.
• Middelpunt en straal uit een uitgewerkte vergelijking: bij $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ splits je kwadraten af: $(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9-12=0$, dus $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$. Het middelpunt is $(2,-3)$ en de straal is 5.
• Cirkel met diameter $AB$ voor $A(1,2)$ en $B(5,6)$: het middelpunt is $M(3,4)$ en de straal is $\frac{1}{2}\sqrt{16+16}=2\sqrt{2}$. De vergelijking is $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=8$.

Snijpunten van een lijn en een cirkel

Vul de formule van de lijn in de vergelijking van de cirkel in. Je krijgt een kwadratische vergelijking:

• $D>0$: twee snijpunten.
• $D=0$: de lijn raakt de cirkel.
• $D<0$: geen snijpunten.

Voorbeeld 1: Snijd de cirkel $x^2+y^2=25$ met de lijn $y=x+1$.

Voorbeeld 2: Voor welke $c$ raakt de lijn $y=-x+c$ aan de cirkel $x^2+y^2=25$?

Raaklijn aan een cirkel

De raaklijn in een punt $P$ van de cirkel staat loodrecht op de straal $MP$.

De hoek tussen twee lijnen

De hoek van een lijn met de $x$-as is ${\tan }^{-1}(a)$. De hoek tussen twee lijnen is het verschil van hun richtingshoeken. Is dat verschil groter dan $90^{\circ }$, dan neem je $180^{\circ }$ min dat verschil.

Valkuilen

• Loodrecht. De richtingscoëfficiënt van een loodrechte lijn is $-\frac{1}{a}$ en niet $-a$ of $\frac{1}{a}$.
• **$r$ en $r^2$ verwarren.** In de vergelijking staat $r^2$. Bij $x^2+y^2=25$ is de straal 5.
• **Het teken in $(x-a)$.** Bij $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=4$ is het middelpunt $(-3,2)$.
• **Alleen de $x$-coördinaten van de snijpunten geven.** Bereken ook de $y$-coördinaten.
• Een verticale lijn. Die heeft geen richtingscoëfficiënt; de lijn loodrecht erop is horizontaal.
• Het midden en de afstand verwarren. Bij het midden tel je op en deel je door 2; bij de afstand gebruik je Pythagoras.

In het kort

• Lijnen: $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$, evenwijdig bij gelijke $a$, loodrecht bij $a_1\cdot a_2=-1$.
• Afstand: $\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$; midden: het gemiddelde van de coördinaten.
• Cirkel: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$; uit een uitgewerkte vorm haal je het middelpunt met kwadraat afsplitsen.
• Snijpunten van een lijn en een cirkel vind je door in te vullen; $D=0$ betekent raken.
• De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.
• De hoek tussen twee lijnen is het verschil van hun hoeken met de $x$-as.