Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Transformaties van grafieken: formules, punten en spiegelingen

Bijna elke grafiek in wiskunde B is een getransformeerde versie van een standaardgrafiek. Na deze samenvatting lees je de transformaties af uit een formule, volg je een punt of een asymptoot door meerdere transformaties heen, stel je de formule van een getransformeerde grafiek op en herken je symmetrie.

De algemene formule

Uit de grafiek van $y=f(x)$ ontstaat de grafiek van

Je past eerst het vermenigvuldigen toe en daarna het verschuiven. Een punt $(p,q)$ op de grafiek van $f$ wordt dan:

Dat volgt uit de formule: het punt $(x,y)$ ligt op de nieuwe grafiek als $b(x-c)=p$, dus $x=\frac{p}{b}+c$.

Van formule naar transformaties

Voorbeeld 1: Herschrijf $g(x)=2x^2-12x+20$ vanuit $f(x)=x^2$.

Voorbeeld 2: De formule $g(x)=2\sin (3(x-\frac{1}{4}\pi ))+1$ ontstaat uit $y=\sin (x)$.

Voorbeeld 3 (let op de haakjes): $g(x)=\sqrt{2x-6}$ ontstaat uit $f(x)=\sqrt{x}$. Haal eerst de 2 buiten haakjes: $\sqrt{2(x-3)}$. Dus factor $\frac{1}{2}$ ten opzichte van de $y$-as en daarna 3 naar rechts, en niet 6. Het beginpunt is $(3,0)$. Het punt $(4,2)$ van $f$ wordt $(\frac{4}{2}+3,2)=(5,2)$. Controle: $g(5)=\sqrt{4}=2$.

Logaritmen en machten

Bij logaritmische en exponentiële functies zijn twee transformaties soms hetzelfde:

• $\ln (2x)=\ln (2)+\ln (x)$. Vermenigvuldigen met $\frac{1}{2}$ ten opzichte van de $y$-as geeft dus dezelfde grafiek als $\ln (2)\approx 0,69$ omhoog schuiven.
• $2^{x-3}=\frac{1}{8}\cdot 2^x$. Drie naar rechts schuiven is hetzelfde als vermenigvuldigen met $\frac{1}{8}$ ten opzichte van de $x$-as.

Verdieping: spiegelen in een lijn en in de oorsprong

Dit komt minder vaak voor dan spiegelen in een as, maar het volgt uit dezelfde regels.

• **Spiegelen in de lijn $x=p$:** $g(x)=f(2p-x)$. Bij $f(x)=(x-1{)}^2$ en spiegelen in $x=3$ geeft $g(x)=(6-1-x{)}^2=(x-5{)}^2$. De top $(1,0)$ gaat naar $(5,0)$, want $3+(3-1)=5$.
• **Spiegelen in de lijn $y=q$:** $g(x)=2q-f(x)$. Bij $f(x)=x^2$ en spiegelen in $y=4$ geeft $g(x)=8-x^2$. De top $(0,0)$ gaat naar $(0,8)$.
• Spiegelen in de oorsprong (puntspiegeling): $g(x)=-f(-x)$.

Symmetrie

• Een functie is even als $f(-x)=f(x)$: de grafiek is symmetrisch in de $y$-as. Voorbeelden zijn $x^4-3x^2$ en $\cos (x)$.
• Een functie is oneven als $f(-x)=-f(x)$: de grafiek is puntsymmetrisch in de oorsprong. Voorbeelden zijn $x^3-x$ en $\sin (x)$.
• De grafiek is symmetrisch in de lijn $x=p$ als $f(p+t)=f(p-t)$ voor elke $t$. Bij $f(x)=x^2-6x+5$ is $f(3+t)=t^2-4=f(3-t)$, dus de symmetrieas is $x=3$.

Valkuilen

• Het teken bij verschuiven. $f(x-3)$ schuift naar rechts. Bij $f(x+3)$ is $c=-3$, dus naar links.
• **De haakjes bij $b$.** Bij $f(2x-6)$ schrijf je $f(2(x-3))$: de verschuiving is 3.
• De volgorde. Eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven. Bij $2f(x)+3$ is het punt $(p,q)$ dus $(p,2q+3)$, niet $(p,2(q+3))$.
• **Vermenigvuldigen met $b$ in plaats van $\frac{1}{b}$.** Bij $f(3x)$ worden de $x$-coördinaten door 3 gedeeld.
• Spiegelen in een lijn. Spiegelen in $x=3$ is niet $f(-x)$, maar $f(6-x)$.
• **$-f(x)$, $f(-x)$ en $-f(-x)$ verwarren.** Dat zijn spiegelingen in de $x$-as, de $y$-as en de oorsprong.

In het kort

• $g(x)=a\cdot f(b(x-c))+d$: $a$ en $b$ vermenigvuldigen, $c$ en $d$ verschuiven.
• Eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven: $(p,q)$ wordt $\left(\frac{p}{b}+c,a\cdot q+d\right)$.
• Haal $b$ altijd buiten haakjes voordat je de horizontale verschuiving afleest.
• Een asymptoot, top of beginpunt transformeer je als een gewoon punt.
• Spiegelen in $x=p$ geeft $f(2p-x)$ en spiegelen in $y=q$ geeft $2q-f(x)$.
• Even functies zijn symmetrisch in de $y$-as en oneven functies puntsymmetrisch in de oorsprong.