Samenvatting · Wiskunde B · vwo 4 Vergelijkingen en ongelijkheden: ontbinden, substitutie, tekenschema

Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen is het gereedschap dat je in elk hoofdstuk van wiskunde B nodig hebt. Na deze samenvatting ontbind je vergelijkingen van hogere graad, gebruik je substitutie, los je wortel- en breukvergelijkingen op met de juiste controle en bepaal je met een tekenschema waar een ongelijkheid klopt.

Ontbinden in factoren

Een product is 0 als een van de factoren 0 is: $A\cdot B=0$ geeft $A=0\vee B=0$. Breng daarom eerst alles naar één kant, zodat rechts 0 staat, en ontbind links.

Handige methoden:

• Buiten haakjes brengen: $x^3-4x=x(x^2-4)$.
• Merkwaardige producten: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ en $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
• Som en product bij $x^2+bx+c$: zoek twee getallen met product $c$ en som $b$.

Voorbeelden:

• $x^3-4x=0$ geeft $x(x-2)(x+2)=0$, dus $x=0\vee x=2\vee x=-2$.
• $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$. De factor $x^2+4$ is nooit 0, dus $x=2\vee x=-2$.

Een nulpunt raden en afdelen. Bij $x^3-2x^2-5x+6=0$ is een geheel nulpunt een deler van 6. Probeer $x=1$: $1-2-5+6=0$. Dus $(x-1)$ is een factor. Delen geeft:

De oplossingen zijn $x=1\vee x=3\vee x=-2$.

Substitutie

Lijkt een vergelijking op een kwadratische vergelijking, noem dan een deel ervan $u$.

Voorbeeld 1: $x^4-5x^2+4=0$.

Voorbeeld 2: $x-5\sqrt{x}+6=0$. Stel $u=\sqrt{x}$, met $u\ge 0$. Dan is $u^2-5u+6=0$, dus $u=2\vee u=3$, en dus $x=4\vee x=9$.

Voorbeeld 3: $x^4+x^2-6=0$. Met $u=x^2$ is $u^2+u-6=0$, dus $(u-2)(u+3)=0$. Alleen $u=2$ kan, want $x^2=-3$ heeft geen oplossing. Dus $x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}$.

Wortel- en breukvergelijkingen

Wortelvergelijking: isoleer de wortel, kwadrateer en controleer.

Los op $\sqrt{x+7}-1=x$.

Breukvergelijking: vermenigvuldig met de noemers (die niet 0 mogen zijn).

Los op $\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=2$ met $x\ne 0$ en $x\ne -1$.

Ongelijkheden oplossen

Werkwijze:

Voorbeeld 1: $x^2-x-6<0$. Ontbinden geeft $(x-3)(x+2)<0$. De grafiek is een dalparabool met nulpunten $-2$ en $3$, dus de oplossing is $-2<x<3$.

Voorbeeld 2: $x^3-4x>0$, dus $x(x-2)(x+2)>0$.

De oplossing is $-2<x<0\vee x>2$.

Voorbeeld 3 (met een breuk): $\frac{x+1}{x-2}\le 1$. Vermenigvuldig niet met de noemer, want je weet niet of die positief of negatief is. Breng naar 0:

De teller is positief, dus de noemer moet negatief zijn: $x-2<0$, dus $x<2$. De waarde $x=2$ hoort er niet bij.

Voorbeeld 4 (met een wortel): $\sqrt{x+2}>x$. Het domein is $x\ge -2$. Bij $\sqrt{x+2}=x$ geeft kwadrateren $x^2-x-2=0$, dus $x=2\vee x=-1$. Alleen $x=2$ voldoet. Voor $-2\le x<2$ ligt de wortelgrafiek boven de lijn $y=x$ (controle: $x=0$ geeft $\sqrt{2}>0$), en voor $x>2$ eronder. De oplossing is $-2\le x<2$.

Vergelijkingen met een parameter

Valkuilen

• **Delen door een factor met $x$.** Bij $x^3=4x$ mag je niet delen door $x$, want dan verlies je $x=0$.
• Vermenigvuldigen met een noemer in een ongelijkheid. Is de noemer negatief, dan draait het teken om. Breng liever alles naar één kant.
• Kwadrateren zonder controle. Het kan een valse oplossing opleveren.
• Terugsubstitueren vergeten. Na $u=1\vee u=4$ ben je nog niet klaar: je zoekt $x$.
• **$\vee$ en $\wedge$ verwarren.** $x<-2\vee x>2$ bestaat uit twee losse stukken.
• De randen. Bij $<$ en $>$ zijn de grenzen niet inbegrepen, bij $\le$ en $\ge$ wel (behalve als de uitdrukking daar niet bestaat).
• Ontbinden zonder 0 aan de rechterkant. Bij $(x-1)(x-2)=6$ volgt niet $x-1=6$.

In het kort

• Breng alles naar één kant en ontbind: een product is 0 als een factor 0 is.
• Een geheel nulpunt van een veelterm met gehele coëfficiënten is een deler van de constante term; deel daarna af.
• Substitutie ($u=x^2$, $u=\sqrt{x}$) herleidt een vergelijking tot een kwadratische vergelijking; substitueer daarna terug.
• Controleer wortelvergelijkingen en breukvergelijkingen op valse oplossingen en het domein.
• Ongelijkheden los je op met nulpunten en een tekenschema; vermenigvuldig niet met een noemer waarvan je het teken niet kent.
• Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking volgt uit de discriminant $D$.