Samenvatting · Wiskunde D · havo 5 De normale verdeling: gemiddelde, standaardafwijking en oppervlakte

Lichaamslengte, de inhoud van een pak melk, de tijd die je nodig hebt voor een toets: zulke meetwaarden liggen meestal netjes rond een gemiddelde, met steeds minder uitschieters naar beide kanten. Dat patroon heet de normale verdeling. Na deze samenvatting reken je er kansen en grenswaarden bij uit, met de vuistregels en met de GR.

Gemiddelde en standaardafwijking

Een normaal verdeelde toevalsvariabele $X$ heeft twee kengetallen:

• het gemiddelde $\mu$: het midden van de klokvorm, de top van de grafiek;
• de standaardafwijking $\sigma$: een maat voor de spreiding. Een grote $\sigma$ geeft een brede, lage klok; een kleine $\sigma$ een smalle, hoge klok.

De grafiek, de normaalkromme, is symmetrisch rond $\mu$. De totale oppervlakte onder de kromme is 1 (100%). De oppervlakte tussen twee waarden is de kans dat $X$ daartussen valt.

De vuistregels

Bij een normale verdeling met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt bij benadering:

Door de symmetrie volgt hieruit bijvoorbeeld: rechts van $\mu +\sigma$ ligt $\frac{100\%-68\%}{2}=16\%$, en links van $\mu -2\sigma$ ligt 2,5%.

Kansen berekenen met de GR

Voor waarden die niet precies $\mu$ plus een geheel aantal $\sigma$ zijn, gebruik je de GR.

**normalcdf(ondergrens, bovengrens, $\mu$, $\sigma$)** geeft de kans $P(\text{ondergrens}<X<\text{bovengrens})$.

• Een kans "kleiner dan" neem je met een heel lage ondergrens, bijvoorbeeld $-10^{99}$.
• Een kans "groter dan" neem je met een heel hoge bovengrens, bijvoorbeeld $10^{99}$.

Bij een continue verdeling maakt "kleiner dan" of "kleiner dan of gelijk aan" niet uit: $P(X=a)=0$.

Grenswaarden berekenen: de omgekeerde weg

Soms is de kans gegeven en zoek je de grens. Op de GR gebruik je **invNorm(linkeroppervlakte, $\mu$, $\sigma$). De linkeroppervlakte is de kans links van de gezochte grens.

Gaat het om een kans rechts van de grens, reken dan eerst om: linkeroppervlakte $=1-$ rechteroppervlakte.

Standaardiseren met de z-score

De z-score vertelt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt:

Bij $x=185$ is $z=\frac{185-170}{8}=1,875$. Zo kun je waarden uit verschillende verdelingen vergelijken. Een toetscijfer van 7,5 bij $\mu =6,5$ en $\sigma =0,5$ heeft $z=2$, en is dus uitzonderlijker dan een 7,5 bij $\mu =6,5$ en $\sigma =1$ ($z=1$).

Let op

• Standaardafwijking is geen variantie. Voer in de GR altijd $\sigma$ in, niet ${\sigma }^2$.
• invNorm geeft links. Bij "de hoogste 5%" is de linkeroppervlakte 0,95.
• Schets altijd. Teken een klok en arceer het gevraagde gebied: zo zie je of je normalcdf, een aftrekking of de symmetrie nodig hebt.
• Afronden. Rond pas af aan het eind en kijk wat de opgave vraagt (vaak 2 of 3 decimalen of een heel getal in de context).

In het kort

• $\mu$ is het gemiddelde, $\sigma$ de standaardafwijking; de totale oppervlakte onder de kromme is 1.
• Vuistregels: 68%, 95% en 99,7% binnen respectievelijk 1, 2 en 3 standaardafwijkingen.
• normalcdf geeft kansen, invNorm geeft grenzen vanuit de linkeroppervlakte.
• z-score: $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.
• Een kleinere $\sigma$ geeft een smallere en hogere klok.