COMMUNITY

Samenvatting · Wiskunde D · vwo 5 Driehoek van Pascal, binomiaalcoëfficiënten en het binomium van Newton

StudyZone

Wiskunde DVak

WAT ZIT ERIN

1Achter de getallen in de driehoek van Pascal zit veel structuur: ze tellen combinaties, ze staan in het uitwerken van (a+b)ⁿ en ze volgen een simpel optelpatroon. Na deze samenvatting reken je met binomiaalcoëfficiënten, bewijs je eigenschappen en werk je machten van…

Bewaar deze samenvatting

Achter de getallen in de driehoek van Pascal zit veel structuur: ze tellen combinaties, ze staan in het uitwerken van $(a + b)^{n}$ en ze volgen een simpel optelpatroon. Na deze samenvatting reken je met binomiaalcoëfficiënten, bewijs je eigenschappen en werk je machten van haakjes uit.

Sigmanotatie en rijen

Een som van opeenvolgende termen schrijf je met het sommatieteken:

k = 1 \sum n a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

Je leest: "de som van $a_{k}$ voor $k$ van 1 tot $n$ ". Bekende sommen:

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} k = 0 \sum n - 1 g^{k} = \frac{g ^{n} - 1}{g - 1} (g \neq = 1)

Voorbeeld

\sum_{k = 1}^{4} k^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

De driehoek van Pascal

In de driehoek van Pascal is elk getal de som van de twee getallen erboven. De buitenkanten bestaan uit enen:

rij $n$	getallen
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1

De rij begint bij $n = 0$ . De getallen in rij $n$ zijn de binomiaalcoëfficiënten $(0 n), (1 n), \dots, (n n)$ .

Binomiaalcoëfficiënten

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

is het aantal manieren om $k$ elementen uit $n$ te kiezen zonder op de volgorde te letten. Belangrijke eigenschappen:

Symmetrie: $(k n) = (n - k n)$ .
Optelregel van Pascal: $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ .
Som van een rij: $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ .

Waarom de optelregel klopt: kies je $k + 1$ uit $n + 1$ elementen, dan zit een bepaald element er wel in (dan nog $k$ uit de resterende $n$ : $(k n)$ manieren) of niet (dan $k + 1$ uit de resterende $n$ : $(k + 1 n)$ manieren).

**Waarom de som $2^{n}$ is:** een verzameling van $n$ elementen heeft $2^{n}$ deelverzamelingen (elk element zit er wel of niet in). Tel je ze per grootte $k$ , dan krijg je $\sum (k n)$ .

Het binomium van Newton

(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{n - k} b^{k}

De coëfficiënten komen uit rij $n$ van Pascal. De machten van $a$ lopen af van $n$ naar 0, die van $b$ op van 0 naar $n$ .

Voorbeeld

(x + 2)^{4} = 1 \cdot x^{4} + 4 \cdot x^{3} \cdot 2 + 6 \cdot x^{2} \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot 8 + 1 \cdot 16 = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16

Een bepaalde term opzoeken

Je hoeft niet alles uit te werken als je één term zoekt. De term met $b^{k}$ is $(k n) a^{n - k} b^{k}$ .

Voorbeeld

wat is de coëfficiënt van $x^{3}$ in $(2 x - 1)^{5}$ ?

1Neem

a = 2 x

b = - 1

, dus de term met

b^{2}

bevat

a^{3} = (2 x)^{3}

.2De term is

(2 5) (2 x)^{3} (- 1)^{2} = 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 1 = 80 x^{3}

.3De coëfficiënt is 80.

Telproblemen met binomiaalcoëfficiënten

Rijtjes met twee soorten: het aantal rijtjes van $n$ letters met $k$ keer A en de rest B is $(k n)$ .
Routes in een rooster: met $a$ stappen naar rechts en $b$ omhoog zijn er $(a a + b)$ routes.
Deelverzamelingen: een verzameling met $n$ elementen heeft $2^{n}$ deelverzamelingen, waarvan er $(k n)$ precies $k$ elementen hebben.

Let op

Tel vanaf 0. In rij $n$ staat $(0 n)$ vooraan; de tweede plek is $(1 n)$ .
Vergeet het teken niet bij $(a - b)^{n}$ : neem $b$ negatief.
Machten van de coëfficiënten. In $(2 x + 3)^{n}$ horen ook de 2 en de 3 mee in de macht, niet alleen de $x$ .
** $0! = 1$ .** Daardoor geldt $(0 n) = 1$ .

In het kort

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ en $\sum_{k = 0}^{n - 1} g^{k} = \frac{g ^{n} - 1}{g - 1}$ .
In Pascal is elk getal de som van de twee erboven; rij $n$ bevat $(0 n)$ tot $(n n)$ .
$(k n) = (n - k n)$ , $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ en $\sum_{k} (k n) = 2^{n}$ .
Binomium: $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$ .
Één term zoek je direct op met $(k n) a^{n - k} b^{k}$ .

Staat hier iets dat niet klopt of niet hoort? .

Samenvatting · Wiskunde D · vwo 5 Driehoek van Pascal, binomiaalcoëfficiënten en het binomium van Newton

Sigmanotatie en rijen

De driehoek van Pascal

Binomiaalcoëfficiënten

Het binomium van Newton

Een bepaalde term opzoeken

Telproblemen met binomiaalcoëfficiënten

Let op

In het kort

Probeer het met je volgende toets