Samenvatting · Wiskunde · mavo 4 Boxplot en kwartielen: spreiding en groepen vergelijken

Een gemiddelde en een mediaan vertellen hoe groot de gegevens ongeveer zijn, maar niet hoe verspreid ze liggen. Een boxplot laat dat in één plaatje zien. Na deze samenvatting bepaal je de kwartielen, teken en lees je een boxplot en vergelijk je twee groepen met elkaar.

Vijf getallen

Een boxplot is gebaseerd op vijf getallen, de vijfgetallensamenvatting:

De kwartielen verdelen de geordende gegevens in vier ongeveer even grote groepen. De mediaan is ook het tweede kwartiel.

Kwartielen bepalen

Bij een oneven aantal waarden laat je de middelste waarde (de mediaan) bij het bepalen van $Q_1$ en $Q_3$ weg. Er bestaan meer afspraken voor kwartielen, en een rekenmachine of programma kan een andere afspraak gebruiken. Gebruik de afspraak uit je boek.

Voorbeeld (even aantal): Twaalf cijfers: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10.

• De mediaan is het gemiddelde van de zesde en zevende waarde: $\frac{7+7}{2}=7$.
• Onderste helft: 4, 5, 5, 6, 6, 7. De mediaan daarvan is $\frac{5+6}{2}=5,5$, dus $Q_1=5,5$.
• Bovenste helft: 7, 8, 8, 8, 9, 10. De mediaan daarvan is $\frac{8+8}{2}=8$, dus $Q_3=8$.
• Minimum 4 en maximum 10.

Voorbeeld (oneven aantal): Negen waarden: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12. De mediaan is de vijfde waarde, 7. Onderste helft: 2, 3, 4, 6 dus $Q_1=3,5$. Bovenste helft: 8, 9, 11, 12 dus $Q_3=10$.

Een boxplot tekenen

Teken eerst een getallenlijn met een vaste schaal. Daarboven teken je:

De boxplot van het voorbeeld hierboven loopt van 4 tot 10, de doos van 5,5 tot 8 en de streep staat op 7.

Een boxplot lezen

Elk deel van de boxplot bevat ongeveer een kwart van de waarden:

• van het minimum tot $Q_1$: een kwart,
• van $Q_1$ tot de mediaan: een kwart,
• van de mediaan tot $Q_3$: een kwart,
• van $Q_3$ tot het maximum: een kwart.

In de doos zit dus ongeveer de helft van de waarden. De lengte van een deel zegt niet hoeveel waarden erin zitten, maar hoe verspreid ze liggen: een kort deel betekent dat de waarden dicht bij elkaar liggen.

Spreiding

Twee maten voor de spreiding:

• De spreidingsbreedte is maximum min minimum.
• De kwartielafstand is $Q_3-Q_1$. Dat is de breedte van de doos. Deze maat wordt niet beïnvloed door een enkele uitschieter.

Voor het voorbeeld met 12 cijfers: spreidingsbreedte $10-4=6$ en kwartielafstand $8-5,5=2,5$.

Twee groepen vergelijken

Teken beide boxplots onder elkaar op dezelfde schaal.

• De mediaan van 4B is hoger: 7 tegenover 6,5. De middelste leerling van 4B scoort dus hoger dan de middelste leerling van 4A.
• De kwartielafstand van 4A is $8-5=3$ en van 4B is $7,5-6=1,5$. De cijfers in 4B liggen dichter bij elkaar.
• Het hoogste cijfer zit in 4A.

Schrijf een conclusie altijd met cijfers en een vergelijking, zoals: "De mediaan van 4B is hoger en de spreiding is kleiner."

Valkuilen

• Niet eerst op volgorde zetten. Kwartielen bepaal je alleen bij gegevens op volgorde.
• De mediaan meenemen in de helften bij een oneven aantal. Laat de middelste waarde weg.
• Denken dat de streep in het midden van de doos staat. De streep staat bij de mediaan en kan overal in de doos liggen.
• De lengte van de doos zien als het aantal waarden. Elk kwart bevat ongeveer evenveel waarden, ook als het ene stuk langer is.
• Het gemiddelde aflezen. Uit een boxplot lees je het gemiddelde niet af.
• Een andere schaal gebruiken. Alleen bij dezelfde schaal kun je twee boxplots eerlijk vergelijken.

In het kort

• Boxplot: minimum, $Q_1$, mediaan, $Q_3$, maximum.
• $Q_1$ en $Q_3$ zijn de medianen van de onderste en bovenste helft.
• Elk deel van de boxplot bevat ongeveer een kwart van de waarden, de doos de helft.
• Spreidingsbreedte is maximum min minimum. Kwartielafstand is $Q_3-Q_1$.
• Vergelijk twee boxplots met mediaan en spreiding, op dezelfde schaal.