Samenvatting · Wiskunde · vmbo 3 De stelling van Pythagoras stap voor stap

Met de stelling van Pythagoras bereken je de lengte van een zijde in een rechthoekige driehoek als je de andere twee zijden al weet. Na deze samenvatting weet je welke zijde de schuine zijde is, wanneer je optelt en wanneer je aftrekt, en hoe je een som netjes opschrijft.

Wanneer gebruik je Pythagoras?

Je gebruikt de stelling van Pythagoras alleen in een rechthoekige driehoek: een driehoek met een hoek van 90°. In een tekening zie je die rechte hoek meestal als een klein vierkantje in de hoek.

• Je weet de lengte van twee zijden.
• Je zoekt de lengte van de derde zijde.
• Pythagoras gaat alleen over zijden, niet over hoeken.

De zijden een naam geven

• De schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek. Het is altijd de langste zijde van de driehoek.
• De twee andere zijden heten rechthoekszijden. Samen maken zij de rechte hoek.

Zoek dus eerst het vierkantje. De zijde die daar niet aan vastzit, is de schuine zijde.

De stelling van Pythagoras

In driehoek ABC met de rechte hoek bij C is AB de schuine zijde. Dan geldt:

Even herhalen wat een kwadraat en een wortel zijn:

• kwadraat: een getal keer zichzelf, bijvoorbeeld $7^2=7\times 7=49$.
• wortel: het omgekeerde van kwadrateren, bijvoorbeeld $\sqrt{49}=7$.

De schuine zijde berekenen: optellen

Een rechthoekszijde berekenen: aftrekken

Zoek je een rechthoekszijde, dan trek je af: het kwadraat van de schuine zijde min het kwadraat van de andere rechthoekszijde.

Werken met een tabel

Je kunt de berekening ook in een tabel zetten. Je vult in wat je weet en rekent de lege vakjes uit.

• In de kolom kwadraat zijn de bovenste twee samen altijd gelijk aan de onderste.
• Zoek je de schuine zijde, dan tel je de bovenste twee kwadraten op.
• Zoek je een rechthoekszijde, dan neem je het onderste kwadraat min het andere bovenste kwadraat.
• Daarna neem je de wortel van het kwadraat. Dat is de lengte.

Pythagoras in een figuur

Vaak staat er geen losse driehoek, maar zit de rechthoekige driehoek verstopt in een figuur.

• Diagonaal van een rechthoek: een rechthoek van 12 cm bij 5 cm heeft een diagonaal van $\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm.
• Hoogte van een gelijkbenige driehoek: de hoogtelijn verdeelt de driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Is de basis 10 cm en zijn de twee gelijke zijden 13 cm, dan is de halve basis 5 cm. De hoogte is $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm.
• Afstand tussen twee punten in een assenstelsel: teken een rechthoekige driehoek met een horizontale en een verticale zijde. Van $(1,2)$ naar $(4,6)$ ga je 3 naar rechts en 4 omhoog, dus de afstand is $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Valkuilen

• Optellen terwijl je moet aftrekken. Zoek je een rechthoekszijde, dan trek je af. Controle: een rechthoekszijde is altijd korter dan de schuine zijde.
• De wortel vergeten. Uit $P{R}^2=100$ volgt $PR=10$, en niet 100.
• Eerst optellen, dan kwadrateren. Dat mag niet. Bij zijden van 6 en 8 cm is de schuine zijde geen $6+8=14$ cm. Kwadrateer eerst elke zijde en tel dan pas op.
• Verschillende eenheden. Zet alle lengtes eerst in dezelfde eenheid, bijvoorbeeld alles in cm.
• Te vroeg afronden. Rond pas af bij het eindantwoord.

In het kort

• Pythagoras werkt alleen in een rechthoekige driehoek.
• De schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek en is de langste zijde.
• Schuine zijde zoeken: kwadraten optellen en dan de wortel nemen.
• Rechthoekszijde zoeken: kwadraten aftrekken en dan de wortel nemen.
• Een tabel met lengte en kwadraat helpt je om geen stap over te slaan.
• Controleer altijd of de schuine zijde echt de langste zijde is.