Samenvatting · Wiskunde · havo 1 Getallen en rekenregels: volgorde, haakjes, delers en slim rekenen

Met rekenregels weet je in welke volgorde je een som uitrekent en hoe je slim rekent. Na deze samenvatting pas je de volgorde van bewerkingen toe, werk je met haakjes en machten, reken je handig met de verdeeleigenschap en gebruik je delers, priemgetallen, ggd en kgv.

Volgorde van bewerkingen

Bij een som met meerdere bewerkingen reken je in deze volgorde:

Staan er haakjes in haakjes, werk dan van binnen naar buiten: $2\cdot (3+(8-2):3)=2\cdot (3+6:3)=2\cdot (3+2)=2\cdot 5=10$.

Breukstreep en wortelteken werken als haakjes. De teller en de noemer reken je eerst uit, en onder een wortelteken ook.

• $\frac{12+6}{2+1}=\frac{18}{3}=6$
• $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, en niet $3+4=7$

Negatieve getallen en machten: $(-3{)}^2=9$, maar $-3^2=-9$. Het kwadraat hoort alleen bij de 3 als er geen haakjes om $-3$ staan.

Rekeneigenschappen

• Omwisselen mag bij optellen en vermenigvuldigen: $a+b=b+a$ en $a\cdot b=b\cdot a$. Bij aftrekken en delen mag het niet: $7-3\ne 3-7$.
• Groeperen mag ook bij optellen en vermenigvuldigen: $(a+b)+c=a+(b+c)$ en $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
• De verdeeleigenschap koppelt vermenigvuldigen en optellen:

Hiermee reken je handig:

• $7\cdot 98=7\cdot (100-2)=700-14=686$
• $15\cdot 102=15\cdot 100+15\cdot 2=1500+30=1530$
• $25\cdot 36=25\cdot 4\cdot 9=100\cdot 9=900$

Delers, veelvouden en priemgetallen

• Een deler van een getal past er een geheel aantal keren in: 4 is een deler van 12, want $12:4=3$.
• Een veelvoud van een getal staat in de tafel van dat getal: 12 is een veelvoud van 4.
• Een priemgetal heeft precies twee delers: 1 en het getal zelf. De eerste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29. Het getal 1 is geen priemgetal.

Deelbaarheidsregels:

Bijvoorbeeld 4 572 is deelbaar door 3, want $4+5+7+2=18$, en ook door 9.

Ontbinden in priemfactoren, ggd en kgv

Elk getal groter dan 1 schrijf je als een product van priemgetallen. Dat heet ontbinden in priemfactoren.

• $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^2\cdot 3\cdot 5$
• $84=2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^2\cdot 3\cdot 7$

De ggd (grootste gemene deler) is het grootste getal dat deler is van beide getallen. Neem de priemfactoren die in beide getallen zitten: $\text{ggd}(60,84)=2^2\cdot 3=12$.

De kgv (kleinste gemene veelvoud) is het kleinste getal dat een veelvoud is van beide. Neem alle priemfactoren, elk met de grootste macht: $\text{kgv}(60,84)=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$.

Gebruik van de ggd: een breuk vereenvoudigen. Deel teller en noemer door de ggd: $\frac{60}{84}=\frac{60:12}{84:12}=\frac{5}{7}$.

Gebruik van de kgv: twee gebeurtenissen die steeds terugkomen. Bus A rijdt elke 12 minuten en bus B elke 15 minuten. Beide vertrekken om 8.00 uur. Ze vertrekken weer samen na $\text{kgv}(12,15)=2^2\cdot 3\cdot 5=60$ minuten, dus om 9.00 uur.

Afronden en schatten

Bij afronden kijk je naar het cijfer na de plek waarop je afrondt. Is dat cijfer 5 of hoger, dan ga je omhoog. Is het lager dan 5, dan blijft het cijfer staan.

• $3,47$ op één decimaal: $3,5$. Op hele getallen: $3$.
• $2,849$ op twee decimalen: $2,85$.

Rond pas af aan het einde van een berekening.

Schatten doe je door te rekenen met mooie getallen: $48,7\cdot 3,02\approx 50\cdot 3=150$. Het precieze antwoord is 147,074. Met een schatting controleer je of je rekenmachine-antwoord kan kloppen.

Valkuilen

• Van links naar rechts rekenen zonder op de volgorde te letten. $3+4\cdot 5$ is 23 en niet 35.
• Eerst delen of eerst vermenigvuldigen. $36:6\cdot 3$ reken je van links naar rechts: 18 en niet 2.
• **$-3^2$ en $(-3{)}^2$ verwisselen.**
• Het wortelteken niet als haakjes zien. $\sqrt{9+16}$ is niet $\sqrt{9}+\sqrt{16}$.
• 1 een priemgetal noemen. Een priemgetal heeft precies twee delers.
• ggd en kgv door elkaar halen. De ggd is altijd kleiner dan of gelijk aan elk van de getallen. De kgv is groter dan of gelijk aan elk van de getallen.

In het kort

• Volgorde: haakjes, machten en wortels, vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken.
• Breukstreep en wortelteken gedragen zich als haakjes.
• Omwisselen en groeperen mag bij optellen en vermenigvuldigen, niet bij aftrekken en delen.
• Verdeeleigenschap: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Handig voor slim rekenen.
• Priemgetal: precies twee delers. Ontbind in priemfactoren om ggd en kgv te vinden.
• Rond af op het eind en controleer je antwoord met een schatting.