Samenvatting · Wiskunde · mavo 3 Kansen berekenen: kansboom, complement en minstens één

De kans op een gebeurtenis laat zien hoe waarschijnlijk die is, bijvoorbeeld bij een dobbelsteen of een trekking uit een vaas. Na deze samenvatting bereken je een kans met een breuk, gebruik je een rooster en een kansboom, en los je opgaven op met minstens één en met of zonder teruglegging.

Wat is een kans?

Een uitkomst is een mogelijk resultaat van een experiment. Een gebeurtenis bestaat uit een of meer uitkomsten. Zijn alle uitkomsten even waarschijnlijk, dan geldt:

De letter $P$ staat voor kans (naar het Engelse probability). Een kans ligt altijd tussen 0 en 1. Je mag hem schrijven als breuk, decimaal getal of percentage.

• Een kans van 0 betekent dat de gebeurtenis onmogelijk is.
• Een kans van 1 betekent dat de gebeurtenis zeker is.

Voorbeeld dobbelsteen: Je gooit met een gewone dobbelsteen. Er zijn 6 uitkomsten.

• $P(6)=\frac{1}{6}$.
• $P(\text{even})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, want 2, 4 en 6 zijn gunstig.
• $P(\text{minder dan 5})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Voorbeeld kaarten: Een spel kaarten (zonder jokers) heeft 52 kaarten, verdeeld over 4 soorten van 13 kaarten. De kans op een harten is $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$. De kans op een aas is $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$.

Het complement

De kans dat iets niet gebeurt, is 1 min de kans dat het wel gebeurt.

De kans op geen zes bij één worp is $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

Kans schatten met een experiment

Bij sommige experimenten, zoals het gooien van een punaise, weet je de kans niet vooraf. Dan doe je het experiment vaak en bereken je de relatieve frequentie:

Twee keer iets doen: het rooster

Bij twee worpen met een dobbelsteen zijn er $6\cdot 6=36$ uitkomsten, die allemaal even waarschijnlijk zijn. Je zet ze in een rooster of tabel. Het aantal manieren om een bepaalde som te gooien met twee dobbelstenen:

• $P(\text{som }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
• $P(\text{som }12)=\frac{1}{36}$.
• $P(\text{twee gelijke ogen})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

De som 7 is dus waarschijnlijker dan de som 12, ook al zijn het allebei mogelijke uitkomsten.

De kansboom

Bij een experiment in meerdere stappen teken je een kansboom. Elke tak krijgt de kans op die stap.

• Vermenigvuldigen langs een pad. Voor de kans op een reeks gebeurtenissen na elkaar vermenigvuldig je de kansen langs de takken.
• Optellen bij meer paden. Hoort een gebeurtenis bij meerdere paden, dan tel je de kansen van die paden op.
• De kansen van alle paden samen zijn 1, en de kansen bij de takken uit één punt zijn samen ook 1.

Voorbeeld met teruglegging: In een vaas zitten 5 rode en 3 blauwe knikkers. Je pakt een knikker, kijkt, legt hem terug en pakt nog een knikker.

• Bij elke trekking is $P(\text{rood})=\frac{5}{8}$.
• $P(\text{twee keer rood})=\frac{5}{8}\cdot \frac{5}{8}=\frac{25}{64}$.

Voorbeeld zonder teruglegging: Dezelfde vaas, maar je legt de eerste knikker niet terug. Na de eerste trekking zitten er nog 7 knikkers in.

• $P(\text{rood, rood})=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$.
• $P(\text{blauw, blauw})=\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$.
• $P(\text{eˊeˊn rood en eˊeˊn blauw})=\frac{5}{8}\cdot \frac{3}{7}+\frac{3}{8}\cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$.
• Controle: $\frac{20}{56}+\frac{6}{56}+\frac{30}{56}=1$.

Minstens één

Bij minstens één gebruik je het complement. De kans op minstens één keer is 1 min de kans op nul keer.

Valkuilen

• Elke uitkomst even waarschijnlijk vinden. Bij twee dobbelstenen zijn er 11 mogelijke sommen, maar ze zijn niet even waarschijnlijk. Tel de gunstige combinaties uit de 36.
• Kansen optellen in plaats van vermenigvuldigen. Voor de kans op rood en daarna weer rood vermenigvuldig je langs het pad.
• Bij trekken zonder teruglegging dezelfde noemer gebruiken. Na de eerste trekking is er een knikker minder.
• Denken dat een dobbelsteen een geheugen heeft. Ook na vijf keer geen zes is de kans op een zes bij de volgende worp nog steeds $\frac{1}{6}$.
• Een kans groter dan 1. Komt er meer dan 1 uit, dan klopt je berekening niet.

In het kort

• Kans = aantal gunstige uitkomsten gedeeld door aantal mogelijke uitkomsten, bij gelijke kansen.
• Een kans ligt tussen 0 (onmogelijk) en 1 (zeker).
• Complement: $P(\text{niet }A)=1-P(A)$.
• In een kansboom vermenigvuldig je langs een pad en tel je de paden bij elkaar op.
• Trek je zonder teruglegging, dan verandert de noemer na elke trekking.
• Minstens één bereken je met het complement: 1 min de kans op geen.