Samenvatting · Wiskunde · mavo 3 Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren berekenen

Bij ruimtefiguren zoals een blik, een tent of een voetbal wil je vaak weten hoeveel erin past, of hoeveel materiaal je nodig hebt. Na deze samenvatting bereken je de inhoud en de oppervlakte van prisma's, cilinders, piramides, kegels en bollen en reken je eenheden om.

Eerst de vlakke figuren

Je hebt de oppervlakte van vlakke figuren nodig voor het grondvlak en de zijvlakken van een ruimtefiguur.

De omtrek van een cirkel is $2\cdot \pi \cdot r$. De hoogte staat altijd loodrecht op de basis.

Prisma, balk en kubus

Een prisma is een ruimtefiguur met twee gelijke, evenwijdige grondvlakken en rechthoekige zijvlakken. Een balk is een prisma met een rechthoek als grondvlak.

• Balk: $\text{lengte}\cdot \text{breedte}\cdot \text{hoogte}$. Een balk van 5 bij 4 bij 3 cm heeft een inhoud van $5\cdot 4\cdot 3=60$ cm³.
• Kubus met ribbe $a$: $a^3$. Bij $a=4$ cm is dat $4^3=64$ cm³.
• Driehoekig prisma: het grondvlak is een driehoek met basis 6 cm en hoogte 4 cm, dus de oppervlakte is $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$ cm². Is het prisma 10 cm hoog (lang), dan is de inhoud $12\cdot 10=120$ cm³.

Cilinder

Een cilinder heeft een cirkel als grondvlak. De formule voor het prisma geldt dus ook hier.

Piramide en kegel

Een piramide en een kegel lopen naar boven toe uit in een punt. Ze hebben een derde van de inhoud van het prisma of de cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.

• Piramide: $\frac{1}{3}\cdot \text{oppervlakte grondvlak}\cdot \text{hoogte}$.
• Kegel: $\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$.

Voorbeeld piramide: Het grondvlak is een vierkant van 5 bij 5 cm en de hoogte is 9 cm. De inhoud is $\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 9=75$ cm³.

Voorbeeld kegel: Een ijshoorntje heeft een straal van 3 cm en is 7 cm hoog. De inhoud is $\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 7=21\pi \approx 66,0$ cm³.

Bol

Voor een bol met straal $r$ gelden twee formules:

Oppervlakte van ruimtefiguren

De totale oppervlakte is de som van de oppervlaktes van alle zijvlakken. Bij een uitslag zie je ze allemaal naast elkaar.

• Balk met lengte $l$, breedte $b$ en hoogte $h$: $2\cdot (l\cdot b+l\cdot h+b\cdot h)$. Voor 5 bij 4 bij 3 cm: $2\cdot (20+15+12)=94$ cm².
• Kubus met ribbe $a$: $6\cdot a^2$. Bij $a=4$ cm: $6\cdot 16=96$ cm².
• Cilinder: twee cirkels (boven en onder) en een rechthoekige mantel. De mantel is opengevouwen een rechthoek met als breedte de omtrek van de cirkel en als lengte de hoogte: $2\cdot \pi \cdot r\cdot h$. Voor het blik van hierboven ($r=4$, $h=10$): twee cirkels $2\cdot \pi \cdot 16=32\pi$, mantel $2\cdot \pi \cdot 4\cdot 10=80\pi$, samen $112\pi \approx 351,9$ cm².

Eenheden omrekenen

Samengestelde ruimtefiguren

Splits een ruimtefiguur in stukken waarvan je de inhoud kent en tel de inhouden op.

Valkuilen

• **Het getal $\frac{1}{3}$ vergeten bij een piramide of kegel.
• Diameter gebruiken als straal. Bij een bol of cilinder met diameter 8 cm is de straal 4 cm.
• Oppervlakte en inhoud verwisselen. Oppervlakte is in cm², inhoud in cm³.
• Verkeerd kwadrateren. In $\pi \cdot r^2\cdot h$ kwadrateer je alleen $r$, niet $\pi \cdot r$. Bij een bol neem je $r$ tot de derde macht.
• Verkeerde omrekening van eenheden. 1 liter is 1000 cm³, en 1 m³ is 1000 liter.
• De schuine ribbe als hoogte gebruiken. Bij een piramide of kegel is de hoogte de loodrechte afstand van de top tot het grondvlak, niet de schuine ribbe.

In het kort

• Inhoud van een prisma of cilinder: oppervlakte grondvlak keer hoogte.
• Inhoud van een piramide of kegel: een derde van oppervlakte grondvlak keer hoogte.
• Inhoud van een bol: $\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$. Oppervlakte van een bol: $4\cdot \pi \cdot r^2$.
• Totale oppervlakte is de som van alle zijvlakken. De mantel van een cilinder is $2\cdot \pi \cdot r\cdot h$.
• 1 liter is 1 dm³ en dat is 1000 cm³. 1 m³ is 1000 liter.
• Splits een samengestelde figuur in stukken en tel de inhouden op.