Samenvatting · Wiskunde A · vwo 6 Betrouwbaarheidsintervallen voor een gemiddelde en een proportie

Een steekproef geeft een enkel getal, zoals een gemiddelde of een percentage. Dat getal is een schatting van de waarde in de hele populatie, en bij een andere steekproef komt er iets anders uit. Een betrouwbaarheidsinterval maakt die onzekerheid zichtbaar. Na deze samenvatting stel je zo'n interval op voor een populatiegemiddelde $\mu$ en voor een populatieproportie $p$, kies je het betrouwbaarheidsniveau, interpreteer je het interval juist, bepaal je de benodigde steekproefomvang en leg je het verband met toetsen.

Van steekproef naar populatie

Bij een steekproef van $n$ onafhankelijke waarnemingen uit een populatie met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt voor het steekproefgemiddelde $\bar{x}$:

• $E(\bar{x})=\mu$;
• $\sigma (\bar{x})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ (de $\sqrt{n}$-wet), en bij grote $n$ is $\bar{x}$ ongeveer normaal verdeeld.

Voor de proportie $\hat{p}$ in een steekproef (het aantal successen gedeeld door $n$) geldt bij populatieproportie $p$:

• $E(\hat{p})=p$;
• $\sigma (\hat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, en bij grote $n$ is $\hat{p}$ ongeveer normaal verdeeld.

Die verdelingen vertellen hoeveel $\bar{x}$ of $\hat{p}$ bij herhaald trekken schommelt. Het betrouwbaarheidsinterval draait die redenering om: je kijkt vanuit de uitkomst naar de waarde in de populatie.

Het betrouwbaarheidsniveau

Een $c$-betrouwbaarheidsinterval gebruikt een factor $z_c$, zodat het middelste deel $c$ van de standaardnormale verdeling tussen $-z_c$ en $z_c$ ligt. Op de GR is $z_c=\text{invNorm}\left(\frac{1+c}{2};0;1\right)$.

Bij 95% rekent het formuleblad van het examen met de afgeronde waarde $z_c=2$; de nauwkeuriger waarde is 1,960. In deze samenvatting rekenen we bij 95% met 2, zoals op het examen. Met 1,96 wordt het interval iets smaller.

Het interval voor een gemiddelde

Een hoger niveau geeft een breder interval: je betaalt zekerheid met precisie.

Is $\sigma$ onbekend, dan schat je het met de standaardafwijking $s$ van de steekproef. Dat is verantwoord bij een grote steekproef.

Het interval voor een proportie

Voor $p$ vervang je $\sigma (\hat{p})$ door een schatting met $\hat{p}$ zelf:

Wat zegt het interval echt

Een 95%-interval zegt iets over de methode, niet over een afzonderlijk interval. Zou je steeds een nieuwe steekproef van dezelfde grootte trekken en elke keer zo'n interval bouwen, dan bevat ongeveer 95% van die intervallen de werkelijke waarde.

• Goed: "De methode levert in 95% van de steekproeven een interval dat $\mu$ bevat."
• Niet goed: "De kans is 95% dat $\mu$ tussen 99,4 en 105,4 ligt." De waarde $\mu$ staat vast. Het interval is wat per steekproef verandert.

Het interval corrigeert alleen voor toeval bij het trekken. Is de steekproef niet aselect, bijvoorbeeld doordat alleen vrijwilligers meededen, dan blijft er een systematische afwijking over die je met een groter $n$ niet kleiner maakt.

De steekproefomvang

De marge is $m=z_c\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. Wil je een marge van hooguit $m$, dan geldt

en je rondt naar boven af. Om de marge te halveren heb je 4 keer zoveel waarnemingen nodig.

Voorbeeld (gemiddelde): Met $\sigma =15$ wil je een 95%-marge van hooguit 2. Dan is $n\ge {\left(\frac{2\cdot 15}{2}\right)}^2=15^2=225$, dus $n=225$.

Voorbeeld (proportie): Weet je vooraf niets over $p$, reken dan met $\hat{p}=0,5$, want dan is $\hat{p}(1-\hat{p})$ het grootst, namelijk 0,25. Voor een 95%-marge van hooguit 0,03 geldt $2\cdot \sqrt{\frac{0,25}{n}}\le 0,03$, dus $n\ge {\left(\frac{2}{0,06}\right)}^2\approx 1111,1$ en $n=1112$.

Verband met toetsen

Een tweezijdige toets van $H_0:\mu ={\mu }_0$ met significantieniveau 5% (en bekende $\sigma$) verwerpt $H_0$ precies dan als ${\mu }_0$ buiten het 95%-interval ligt, als je in beide dezelfde $z$-waarde gebruikt.

Bij een proportie geldt dit ongeveer, omdat de toets de standaardafwijking uit $p_0$ haalt en het interval uit $\hat{p}$.

Valkuilen

• Het interval met de waarnemingen verwarren. Het interval gaat over $\mu$ of $p$, niet over de spreiding van individuele waarnemingen.
• De kans op het interval noemen. De 95% hoort bij de methode, niet bij dit ene interval.
• **$\sigma$ delen door $n$.** De standaardafwijking van het gemiddelde is $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.
• De verkeerde factor. Voor 95% is $z\approx 2$ (nauwkeuriger 1,96), niet 0,975.
• Naar beneden afronden. Bij $n\ge 1111,1$ is 1112 het kleinste aantal, niet 1111.
• Een scheve steekproef met een interval repareren. Een betrouwbaarheidsinterval verbetert een slechte steekproef niet.

In het kort

• $\bar{x}$ heeft gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$; $\hat{p}$ heeft gemiddelde $p$ en standaardafwijking $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.
• Interval voor $\mu$: $\bar{x}\pm z_c\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$; voor $p$: $\hat{p}\pm z_c\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.
• $z_c=\text{invNorm}\left(\frac{1+c}{2};0;1\right)$, dus 1,645 bij 90%, 1,960 bij 95% (op het examen afgerond op 2) en 2,576 bij 99%.
• Het niveau hoort bij de methode: bij 95% bevat ongeveer 95% van alle intervallen de werkelijke waarde.
• Voor een marge $m$ heb je $n\ge {\left(\frac{z_c\cdot \sigma }{m}\right)}^2$ nodig, naar boven afgerond.
• Een tweezijdige toets op 5% verwerpt ${\mu }_0$ precies als ${\mu }_0$ buiten het 95%-interval ligt.