Samenvatting · Wiskunde A · vwo 5 De afgeleide in contexten: stijgen, dalen en snelheid van verandering

De afgeleide is meer dan een rekenregel: het is de snelheid waarmee iets verandert. Als je die snelheid kunt uitrekenen en lezen, kun je uitspraken doen over groei, afname en pieken in een situatie. Na deze samenvatting gebruik je het teken van de afgeleide om te zien waar een grafiek stijgt of daalt, geef je de afgeleide een betekenis met eenheid, werk je met de afgeleide van exponentiële modellen en gebruik je de raaklijn om een waarde te schatten.

Stijgen en dalen

Het teken van $f^{\prime }(x)$ vertelt wat de grafiek doet:

• $f^{\prime }(x)>0$: de grafiek stijgt;
• $f^{\prime }(x)<0$: de grafiek daalt;
• $f^{\prime }(x)=0$: de raaklijn is horizontaal, en dat is mogelijk een top of een dal.

De afgeleide als snelheid van verandering

$f^{\prime }(t)$ is de snelheid van verandering op het moment $t$. De eenheid is de eenheid van $y$ per eenheid van $x$, bijvoorbeeld meter per seconde of euro per jaar.

Verwar $f^{\prime }(t)$ niet met een gemiddelde verandering. De gemiddelde verandering hoort bij een interval en is een differentiequotiënt, de afgeleide hoort bij één moment.

Toenemend en afnemend

Je kunt het verloop van de afgeleide zelf bekijken. Zo krijg je de soorten stijgen en dalen:

Exponentiële groei en de afgeleide

Voor $N(t)=b\cdot g^t$ geldt $N^{\prime }(t)=b\cdot g^t\cdot \ln (g)=\ln (g)\cdot N(t)$. De snelheid van verandering is dus evenredig met het aantal. Het getal $\ln (g)$ is de relatieve groeisnelheid: $\frac{N^{\prime }(t)}{N(t)}=\ln (g)$.

De raaklijn gebruiken

Vlak bij $t$ lijkt de grafiek op zijn raaklijn. Voor een kleine stap $h$ geldt:

Het verschil is klein omdat de stap klein is. Bij een grote stap wordt de schatting slechter.

Redeneren met de afgeleide

Bij een opgave in een context geef je een bewering en onderbouw je die met het teken of de waarde van de afgeleide.

• "Het aantal neemt toe, want $N^{\prime }(t)>0$ voor alle $t$."
• "Op $t=3$ is de groei het grootst, want $N^{\prime }$ heeft daar zijn maximum."
• "De groei vlakt af, want $N^{\prime }(t)$ wordt steeds kleiner."

Noem steeds de formule of de waarde van de afgeleide, en vergeet de eenheid niet.

Valkuilen

• **$f^{\prime }$ lezen als $f$.** $N^{\prime }(10)=15,89$ betekent niet dat er 15,89 zijn, maar dat het aantal met 15,89 per jaar groeit.
• Een eenheid vergeten. De afgeleide heeft de eenheid $y$ per $x$, bijvoorbeeld euro per jaar.
• **$f^{\prime }(x)=0$ altijd een top noemen.** Controleer of het teken van $f^{\prime }$ verandert.
• Dalend en afnemend verwarren. Dalend betekent $f^{\prime }<0$. Afnemend zegt iets over het verloop van $f^{\prime }$: de grafiek wordt vlakker. Een afnemend stijgende grafiek stijgt dus nog steeds.
• **$\ln (g)$ en het groeipercentage gelijkstellen.** Dat is een benadering die alleen voor kleine percentages bijna klopt.

In het kort

• $f^{\prime }(x)>0$ betekent stijgen, $f^{\prime }(x)<0$ dalen, en een top vraagt een tekenwisseling van $f^{\prime }$.
• $f^{\prime }(t)$ is de snelheid van verandering op één moment, met eenheid $y$ per $x$.
• De soort stijging of daling volgt uit het verloop van $f^{\prime }$: groter of kleiner worden.
• Bij $N=b\cdot g^t$ is $N^{\prime }=\ln (g)\cdot N$.
• Voor een kleine stap $h$ geldt $f(t+h)\approx f(t)+h\cdot f^{\prime }(t)$.