Samenvatting · Wiskunde A · havo 5 De normale verdeling: vuistregels, normalcdf en invNorm

Lengtes, gewichten en meetfouten zijn vaak normaal verdeeld: de meeste waarden liggen dicht bij het gemiddelde, en hoe verder je ervan af gaat, hoe zeldzamer ze worden. Na deze samenvatting schat je percentages met de vuistregels, bereken je ze met je grafische rekenmachine en reken je een onbekende grens, gemiddelde of standaardafwijking terug.

Kenmerken van een normale verdeling

Een normale verdeling heeft een klokvormige, symmetrische grafiek: de normaalkromme.

• Het gemiddelde $\mu$ ligt in het midden, recht onder de top. Door de symmetrie zijn gemiddelde, mediaan en modus hier gelijk.
• De standaardafwijking $\sigma$ is een maat voor de spreiding. Bij een grote $\sigma$ is de klok breed en laag, bij een kleine $\sigma$ smal en hoog.
• De buigpunten van de klok liggen bij $\mu -\sigma$ en $\mu +\sigma$.
• De oppervlakte onder de hele kromme is 1, dus 100%. Een oppervlakte onder een deel van de kromme is het percentage waarnemingen in dat gebied.
• Links van $\mu$ ligt 50% en rechts van $\mu$ ligt 50%.

Niet alles is normaal verdeeld. Inkomens en wachttijden hebben bijvoorbeeld vaak een scheve verdeling: veel lage waarden en een lange staart naar rechts.

De vuistregels

Bij elke normale verdeling geldt:

Met de symmetrie volgen daaruit andere percentages:

• tussen $\mu$ en $\mu +\sigma$: $68\%:2=34\%$
• meer dan $\mu +\sigma$: $50\%-34\%=16\%$
• tussen $\mu +\sigma$ en $\mu +2\sigma$: $47,5\%-34\%=13,5\%$
• meer dan $\mu +2\sigma$: $(100\%-95\%):2=2,5\%$

Je kunt ook terugrekenen. Weet je dat 2,5% van de pakken zwaarder is dan 1013 gram, dan ligt 1013 op $\mu +2\sigma$. Met $\mu =1005$ volgt $2\sigma =8$, dus $\sigma =4$.

De vuistregels gelden alleen als een grens precies één of twee standaardafwijkingen van het gemiddelde af ligt. In alle andere gevallen gebruik je de GR.

Rekenen met de grafische rekenmachine

Op de TI-84 gebruik je twee functies. Andere rekenmachines hebben dezelfde functies onder een andere naam. Hieronder staan de getallen gescheiden door puntkomma's; op de rekenmachine vul je ze in de juiste vakjes in.

• Zoek je het percentage onder een grens, dan neem je als linkergrens $-10^{99}$.
• Zoek je het percentage boven een grens, dan neem je als rechtergrens $10^{99}$.
• invNorm werkt standaard met de oppervlakte links van de grens.

Maak bij elke opgave eerst een schets: een klokvorm met $\mu$ in het midden, de grens of grenzen erin en het gevraagde gebied gekleurd. Zo zie je meteen of je antwoord kan kloppen, en in je uitwerking laat je zien hoe je aan het antwoord komt.

Een onbekend gemiddelde of een onbekende standaardafwijking

Soms weet je het percentage al en zoek je $\mu$ of $\sigma$. Dan stel je een vergelijking op en los je die op met de GR.

Controleer of dat logisch is: een groter gemiddelde schuift de klok naar rechts, zodat er minder pakken onder de 1000 gram vallen. Op dezelfde manier vind je een onbekende standaardafwijking: dan zet je $X$ op de plaats van $\sigma$.

Valkuilen

• Oppervlakte en percentage door elkaar. De GR geeft een getal tussen 0 en 1. Vermenigvuldig met 100 voor een percentage.
• Verkeerde volgorde van de grenzen. In normalcdf komt eerst de linkergrens en dan de rechtergrens.
• invNorm met de rechteroppervlakte. Voor de grens van de 5% hoogste waarden vul je 0,95 in, niet 0,05.
• Vuistregels op de verkeerde plek. De 68% en 95% gelden alleen voor grenzen op precies $\sigma$ of $2\sigma$ van het gemiddelde.
• Geen schets. Zonder schets zie je niet of een antwoord boven of onder het gemiddelde hoort te liggen.

In het kort

• Een normale verdeling is klokvormig en symmetrisch rond het gemiddelde $\mu$; de standaardafwijking $\sigma$ bepaalt hoe breed de klok is.
• Een oppervlakte onder de normaalkromme is een percentage; de totale oppervlakte is 100%.
• Vuistregels: 68% ligt binnen één $\sigma$ van $\mu$, 95% binnen twee keer $\sigma$.
• normalcdf geeft het percentage tussen twee grenzen, invNorm geeft de grens bij een oppervlakte links.
• Een onbekende $\mu$ of $\sigma$ vind je met een vergelijking en intersect op de GR.
• Begin altijd met een schets met $\mu$, de grenzen en het gekleurde gebied.