Samenvatting · Wiskunde A · havo 5 Statistiek: data en verwerking

Statistiek: data en verwerking

1. Doel van statistiek

Met statistiek verwerk je gegevens, zodat je kenmerken van een groep kunt beschrijven en groepen met elkaar kunt vergelijken. Gegevens kunnen bestaan uit bijvoorbeeld leeftijden, lengtes, gewichten, cijfers, tijden, inkomens of aantallen.

Een variabele is een eigenschap die per persoon, voorwerp of meting kan verschillen. Voorbeelden:

• leeftijd;
• lengte;
• gewicht;
• score op een toets;
• geboortemaand;
• profiel.

Een variabele is kwantitatief als de waarden getallen zijn waarmee je kunt rekenen, zoals lengte in cm, gewicht in kg en inkomen in euro’s. Bij gegevens zoals profiel of geboortemaand gaat het vooral om categorieën.

Statistische gegevens kun je onder meer weergeven met:

• een frequentietabel;
• een staafdiagram;
• een cirkeldiagram;
• een lijndiagram;
• een boxplot;
• een frequentiepolygoon;
• een somfrequentiepolygoon of cumulatieve frequentiepolygoon.

De juiste weergave hangt af van de soort gegevens en van de vraag die je wilt beantwoorden.

2. Frequenties en percentages

De frequentie is het aantal keer dat een waarde voorkomt.

Bijvoorbeeld: van 120 leerlingen halen 30 leerlingen een 7 voor een toets. De frequentie van het cijfer 7 is dan 30.

De relatieve frequentie geeft aan welk deel van het totaal bij een waarde of klasse hoort. Vaak druk je deze uit in procenten:

Dus 25% van de leerlingen haalt een 7.

Relatieve frequenties zijn vooral nuttig bij het vergelijken van groepen met verschillende aantallen waarnemingen. Als groep A uit 50 personen bestaat en groep B uit 200 personen, zijn absolute aantallen vaak minder goed vergelijkbaar.

3. Klassenindeling

Als een variabele veel verschillende waarden heeft, deel je de gegevens vaak in klassen in. Dit gebeurt bijvoorbeeld bij lengtes, gewichten, inkomens en tijden.

Een klasse kan worden geschreven in intervalnotatie:

Dit betekent:

• 155 hoort wel bij de klasse;
• 160 hoort niet bij de klasse;
• alle waarden vanaf 155 tot kleiner dan 160 horen bij deze klasse.

De rechte haak bij 155 betekent dus: de linkergrens telt mee. De punthaak bij 160 betekent: de rechtergrens telt niet mee.

Klassenbreedte en klassenmidden

De klassenbreedte is de afstand tussen de grenzen van een klasse.

Bij de klasse

is de klassenbreedte:

Dus de klassenbreedte is 5 cm als het om lengtes gaat.

Het klassenmidden ligt precies halverwege de klassengrenzen:

Het klassenmidden is dus 157,5 cm.

Bij afgeronde gegevens moet je goed letten op de klassengrenzen. Als cijfers op gehele getallen worden afgerond, horen de cijfers die afgerond een 7 zijn bij:

Een cijfer van 7,4 wordt afgerond op 7, maar een cijfer van 7,5 wordt afgerond op 8.

Klassen bij leeftijden

Een leeftijdsklasse 50–59 bevat leeftijden vanaf 50 jaar tot 60 jaar. De intervalnotatie is dan:

Het klassenmidden is:

Bij leeftijden in hele jaren kan een andere notatie voorkomen. Dan moet je steeds nagaan welke waarden werkelijk in de klasse zitten.

4. Gemiddelde bij een klassenindeling

Als de afzonderlijke waarnemingen niet bekend zijn, kun je met de klassenmiddens een schatting van het gemiddelde berekenen.

Stel dat de gewichten van 30 zakken peren als volgt zijn ingedeeld.

De geschatte totale massa is:

De geschatte gemiddelde massa per zak is:

Het gemiddelde gewicht is dus ongeveer 2,60 kg.

Deze berekening is een goede schatting als de waarnemingen binnen elke klasse redelijk gelijkmatig rond het klassenmidden verdeeld zijn.

5. Frequentieverdelingen en hun vorm

Een frequentietabel of staafdiagram geeft een frequentieverdeling weer. De vorm van een staafdiagram kan informatie geven over de gegevens.

Bij een klokvormige verdeling zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus ongeveer gelijk. Dit komt doordat de verdeling min of meer symmetrisch is.

Een meertoppige verdeling kan bijvoorbeeld ontstaan als gegevens van twee verschillende groepen samen worden weergegeven. De schoenmaten van kleuters en ouders kunnen samen bijvoorbeeld twee toppen geven: één top bij kleine schoenmaten en één top bij grote schoenmaten.

Een uitschieter kan grote invloed hebben op het gemiddelde. De mediaan en de modus veranderen meestal minder sterk door één uitschieter.

6. Centrummaten

Met centrummaten vat je gegevens samen door één kenmerkende waarde te geven. De drie centrummaten zijn:

• het gemiddelde;
• de mediaan;
• de modus.

Gemiddelde

Het gemiddelde bereken je door alle waarnemingen op te tellen en te delen door het aantal waarnemingen.

Bij een frequentietabel gebruik je:

Het gemiddelde cijfer is 6,6.

Mediaan

De mediaan is de middelste waarneming wanneer alle gegevens van klein naar groot zijn gezet.

Bij een oneven aantal waarnemingen is er één middelste waarneming.

De mediaan is 6.

Bij een even aantal waarnemingen neem je het gemiddelde van de twee middelste waarnemingen.

De middelste waarden zijn 6 en 7.

De mediaan is 6,5.

Modus

De modus is de waarneming met de grootste frequentie.

Bij de cijfers

is 6 de modus, omdat 6 twee keer voorkomt.

Soms is er geen modus. Als alle waarden even vaak voorkomen, is geen enkele waarde het meest voorkomend.

Welke centrummaat gebruik je?

De keuze voor een centrummaat hangt af van de situatie.

• Het gemiddelde gebruikt alle waarnemingen, maar is gevoelig voor uitschieters.
• De mediaan is bruikbaar bij scheve verdelingen en uitschieters.
• De modus is bruikbaar als je wilt weten welke waarde of klasse het vaakst voorkomt.

Bij inkomens kan het gemiddelde hoger zijn dan wat de meeste mensen verdienen, omdat enkele zeer hoge inkomens het gemiddelde omhoog trekken. De mediaan geeft dan vaak beter weer wat een gebruikelijk inkomen is.

Als je groepen samenvoegt, mag je gemiddelden niet zomaar middelen. Je moet rekening houden met de groepsgroottes.

Stel dat 40 meisjes gemiddeld 3387,3 gram wegen en 47 jongens gemiddeld 3458,3 gram wegen. Dan is het gemiddelde geboortegewicht:

De groepen hebben namelijk niet evenveel baby’s.

7. Spreidingsmaten

Naast het centrum is ook de spreiding van gegevens belangrijk. Twee groepen kunnen hetzelfde gemiddelde hebben, maar toch sterk verschillen doordat de waarden in één groep veel verder uiteen liggen.

Spreidingsbreedte

De spreidingsbreedte is:

De spreidingsbreedte is 23 mL.

Kwartielen en kwartielafstand

De gegevens kunnen in vier delen van 25% worden verdeeld.

• Het eerste kwartiel $Q_1$ is de waarde waaronder 25% van de waarnemingen ligt.
• De mediaan ligt bij 50%.
• Het derde kwartiel $Q_3$ is de waarde waaronder 75% van de waarnemingen ligt.

De kwartielafstand of interkwartielafstand is:

Deze maat beschrijft de spreiding van de middelste 50% van de gegevens.

Standaardafwijking

De standaardafwijking, afgekort als SD of $\sigma$, is een spreidingsmaat rond het gemiddelde.

• Een kleine standaardafwijking betekent dat de waarnemingen gemiddeld dicht bij het gemiddelde liggen.
• Een grote standaardafwijking betekent dat de waarnemingen gemiddeld verder van het gemiddelde liggen.

Als twee klassen hetzelfde gemiddelde cijfer hebben, maar in de ene klas veel cijfers rond dat gemiddelde liggen, is de standaardafwijking van die klas kleiner.

8. Boxplots

Een boxplot geeft vijf belangrijke waarden weer:

• minimum;
• eerste kwartiel $Q_1$;
• mediaan;
• derde kwartiel $Q_3$;
• maximum.

De box bevat de middelste 50% van de gegevens. De linkerzijde van de box is $Q_1$, de lijn in de box is de mediaan en de rechterzijde van de box is $Q_3$.

Uit een boxplot kun je aflezen:

• de spreidingsbreedte;
• de kwartielafstand;
• de mediaan;
• welk deel van de groep binnen bepaalde grenzen ligt.

Bijvoorbeeld: als $Q_1=5,7$, de mediaan $=6,2$ en $Q_3=7,0$, dan heeft:

• 25% een cijfer van hoogstens 5,7;
• 25% een cijfer tussen 5,7 en 6,2;
• 25% een cijfer tussen 6,2 en 7,0;
• 25% een cijfer van minstens 7,0.

Boxplots zijn geschikt om groepen te vergelijken, bijvoorbeeld de resultaten van jongens en meisjes of van twee klassen.

9. Frequentiepolygoon en somfrequentiepolygoon

Een frequentiepolygoon is een lijndiagram van frequenties.

Bij een klassenindeling zet je:

• de frequentie op de verticale as;
• het klassenmidden op de horizontale as.

Bijvoorbeeld: bij de klasse $[20;30⟩$ met frequentie 12 zet je een punt bij klassenmidden 25 en frequentie 12.

Een somfrequentie of cumulatieve frequentie is het totaal van alle frequenties vanaf de kleinste waarde tot en met een bepaalde klasse.

Bij de frequenties 6, 12 en 34 zijn de somfrequenties:

Een somfrequentiepolygoon of cumulatieve frequentiepolygoon is de grafiek van deze somfrequenties.

Bij een klassenindeling zet je:

• de somfrequentie op de verticale as;
• de rechter klassengrens op de horizontale as.

Met een relatieve somfrequentiepolygoon kun je de mediaan en kwartielen aflezen:

• mediaan bij 50%;
• eerste kwartiel bij 25%;
• derde kwartiel bij 75%.

Ook zie je de modale klasse terug: deze hoort bij het steilste deel van de somfrequentiepolygoon. Daar neemt de cumulatieve frequentie namelijk het sterkst toe.

10. Statistische gegevens kritisch gebruiken

Bij statistiek moet je altijd letten op de manier waarop gegevens zijn weergegeven.

• Vergelijk groepen met verschillende aantallen meestal met relatieve frequenties of percentages.
• Let bij klassen op de klassenbreedte en de klassengrenzen.
• Gebruik bij uitschieters niet automatisch het gemiddelde als beste centrummaat.
• Vergelijk groepen met zowel centrummaten als spreidingsmaten.
• Trek geen conclusies die niet volgen uit de gegevens.

Een goed statistisch overzicht combineert daarom vaak meerdere kenmerken: bijvoorbeeld gemiddelde, mediaan, modus, spreidingsbreedte, kwartielafstand en de vorm van de frequentieverdeling.