Samenvatting · Wiskunde A · vwo 5 De normale verdeling: z-score, onbekende parameters en sommen

Veel grootheden, zoals meetfouten, lengtes en toetsscores, zijn bij benadering normaal verdeeld. Na deze samenvatting reken je met normalcdf en invNorm, standaardiseer je met de $z$-score, bepaal je een onbekend gemiddelde of een onbekende standaardafwijking en reken je met de som en het gemiddelde van onafhankelijke normaal verdeelde grootheden.

De normale verdeling

Een kansvariabele $X$ is normaal verdeeld met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ als de kansen overeenkomen met de oppervlakte onder de klokvormige normaalkromme. De kromme is symmetrisch rond $\mu$ en de totale oppervlakte is 1. Bij een continue verdeling is $P(X=x)=0$, en dus is $P(X\le x)=P(X<x)$.

Voor elke normale verdeling geldt ongeveer:

Kansen en grenzen met de GR

• $P(a\le X\le b)=\text{normalcdf}(a;b;\mu ;\sigma )$
• Een grens $g$ met $P(X\le g)=\text{oppervlakte}$ vind je met $\text{invNorm}(\text{oppervlakte};\mu ;\sigma )$

Heeft het gebied links geen grens, neem dan $-10^{99}$ als linkergrens. Heeft het gebied rechts geen grens, neem dan $10^{99}$ als rechtergrens. Schets altijd eerst de klok, met de grens en het gevraagde gebied.

Standaardiseren

De standaardscore ($z$-score) geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde af ligt:

Als $X$ normaal verdeeld is met $\mu$ en $\sigma$, dan is $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ normaal verdeeld met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1: de standaardnormale verdeling. Er geldt $P(X\le x)=P(Z\le z)$.

Met $z$-scores kun je ook scores uit verschillende verdelingen vergelijken. Het gaat dan om de afstand tot het gemiddelde in eenheden van de standaardafwijking.

Een onbekend gemiddelde of een onbekende standaardafwijking

Zoek je $\mu$ of $\sigma$, dan reken je met $z$-scores. Zoek eerst met invNorm de $z$-score bij de gegeven oppervlakte: $\text{invNorm}(\text{oppervlakte};0;1)$.

**Voorbeeld (alleen $\mu$ onbekend):** Een machine vult pakken suiker. Het gewicht is normaal verdeeld met $\sigma =4$ gram. Maar 2% van de pakken mag lichter zijn dan 1000 gram. Welk gemiddelde moet worden ingesteld?

Voorbeeld (beide onbekend): Van een normaal verdeelde grootheid is bekend dat 10% kleiner is dan 40 en 5% groter is dan 60.

Som en gemiddelde van onafhankelijke grootheden

Voor onafhankelijke normaal verdeelde grootheden $X_1,X_2,\dots ,X_n$ met elk gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt voor de som $T=X_1+\cdots +X_n$:

• ${\mu }_T=n\cdot \mu$
• ${\sigma }_T=\sigma \cdot \sqrt{n}$

en $T$ is weer normaal verdeeld. Let op: bij het optellen tel je de varianties op (${\sigma }^2$), niet de standaardafwijkingen.

Voor het gemiddelde $\bar{X}=\frac{T}{n}$ geldt:

• ${\mu }_{\bar{X}}=\mu$
• ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ (de $\sqrt{n}$-wet)

Een gemiddelde van meer waarnemingen varieert dus minder: hoe groter $n$, hoe kleiner ${\sigma }_{\bar{X}}$.

Valkuilen

• Standaardafwijkingen optellen. Bij een som tel je de varianties op: ${\sigma }_T=\sigma \cdot \sqrt{n}$ en niet $n\cdot \sigma$.
• invNorm met de rechteroppervlakte. De GR rekent met de oppervlakte links van de grens. Voor de hoogste 10% vul je 0,90 in.
• De grenzen in de verkeerde volgorde. Eerst de linkergrens, dan de rechtergrens.
• **De $z$-score als percentage lezen.** $z=1,5$ betekent 1,5 standaardafwijking boven het gemiddelde, niet 1,5%.
• De schets overslaan. Zonder schets weet je niet of je antwoord boven of onder 50% hoort te liggen.

In het kort

• Normaal verdeeld: klokvormig, symmetrisch, ongeveer 68%, 95% en 99,7% binnen 1, 2 en 3 standaardafwijkingen.
• $P(a\le X\le b)=\text{normalcdf}(a;b;\mu ;\sigma )$. De grens bij een oppervlakte links is $\text{invNorm}(\text{oppervlakte};\mu ;\sigma )$.
• $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ standaardiseert. Voor een onbekend $\mu$ of $\sigma$ schrijf je $\frac{g-\mu }{\sigma }=z$ en los je op.
• Voor een som van $n$ onafhankelijke grootheden is ${\mu }_T=n\mu$ en ${\sigma }_T=\sigma \sqrt{n}$.
• Voor het gemiddelde is ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.