COMMUNITY

Samenvatting · Wiskunde A · vwo 5 Differentiëren: product-, quotiënt- en kettingregel

StudyZone

Wiskunde AVak

WAT ZIT ERIN

1Bij ingewikkelde functies, zoals een product, een quotiënt of een functie binnen een andere functie, heb je meer regels nodig dan de machtsregel. Na deze samenvatting differentieer je met de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel, ken je de afgeleiden van e^x,…

Bewaar deze samenvatting

Bij ingewikkelde functies, zoals een product, een quotiënt of een functie binnen een andere functie, heb je meer regels nodig dan de machtsregel. Na deze samenvatting differentieer je met de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel, ken je de afgeleiden van $e^{x}$ , $ln (x)$ en $g^{x}$ en kies je bij elke opgave de juiste regel.

Wat je al kent

$f (x) = c \Rightarrow f^{'} (x) = 0$
$f (x) = x^{n} \Rightarrow f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ , ook voor negatieve en gebroken $n$
$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$

De productregel

Voor het product van twee functies geldt

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Je differentieert dus steeds één factor en laat de andere staan. Het is niet $f^{'} \cdot g^{'}$ .

Voorbeeld

Differentieer $f (x) = (x^{2} + 1) (3 x - 2)$ .

1De factoren zijn

g (x) = x^{2} + 1

met

g^{'} = 2 x

h (x) = 3 x - 2

met

h^{'} = 3

f^{'} (x) = 2 x \cdot (3 x - 2) + (x^{2} + 1) \cdot 3 = 6 x^{2} - 4 x + 3 x^{2} + 3 = 9 x^{2} - 4 x + 3

.3Controle door eerst uit te werken:

f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2

geeft

f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x + 3

De quotiëntregel

Voor een quotiënt geldt

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - f \cdot g ^{'}}{g ^{2}}

In de teller staat eerst $f^{'} \cdot g$ , dan een min en dan $f \cdot g^{'}$ . De volgorde is belangrijk. De noemer is het kwadraat van de oorspronkelijke noemer.

Voorbeeld

Differentieer $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

1De teller is

x

met afgeleide 1 en de noemer is

x^{2} + 1

met afgeleide

2 x

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

.3Bij

x = 1

f^{'} (1) = 0

: daar heeft de grafiek een horizontale raaklijn.

Is de noemer een macht van $x$ of een constante, dan hoef je de quotiëntregel niet te gebruiken. Splits de breuk dan en gebruik de machtsregel.

De kettingregel

Een functie die binnen een andere functie staat, differentieer je met de kettingregel. Voor $y = f (g (x))$ geldt

y^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Je differentieert dus eerst de buitenste functie en laat de binnenste staan. Daarna vermenigvuldig je met de afgeleide van de binnenste functie. Met $u = g (x)$ schrijf je dit ook als $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .

Voorbeeld

Differentieer $f (x) = (2 x - 5)^{4}$ .

1Buitenste functie:

u^{4}

met afgeleide

4 u^{3}

. Binnenste functie:

u = 2 x - 5

met afgeleide22.

f^{'} (x) = 4 (2 x - 5)^{3} \cdot 2 = 8 (2 x - 5)^{3}

.3Bij

x = 3

f^{'} (3) = 8 \cdot 1^{3} = 8

Voorbeeld

Differentieer $f (x) = 3 x + 1 = (3 x + 1)^{1/2}$ .

1Buitenste functie:

u^{1/2}

met afgeleide

\frac{1}{2} u^{- 1/2}

. Binnenste functie:

u = 3 x + 1

met afgeleide 3.2

f^{'} (x) = \frac{1}{2} (3 x + 1)^{- 1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2 3 x + 1}

Exponentiële en logaritmische functies

Voor deze standaardfuncties geldt:

functie	afgeleide
$e^{x}$	$e^{x}$
$g^{x}$ (met $g > 0$ )	$ln (g) \cdot g^{x}$
$ln (x)$	$\frac{1}{x}$
$^{g} lo g (x)$ (met $g > 0$ , $g \neq = 1$ )	$\frac{1}{l n ( g ) \cdot x}$

Zit er een binnenfunctie in, dan gebruik je de kettingregel.

$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ .
$(50 e^{- 0, 2 x})^{'} = 50 \cdot (- 0, 2) \cdot e^{- 0, 2 x} = - 10 e^{- 0, 2 x}$ .
$(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Voorbeeld

De groei van bacteriën is

N = 500 \cdot 1, 0 8^{t}

, met

t

in uren. Dan is

N^{'} (t) = 500 \cdot ln (1, 08) \cdot 1, 0 8^{t}

en dus

N^{'} (0) \approx 500 \cdot 0, 0770 \approx 38, 5

. De populatie groeit op

t = 0

met ongeveer 38,5 bacteriën per uur.

Voorbeeld

Differentieer

f (x) = x \cdot e^{x}

met de productregel:

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (1 + x) e^{x}

. Omdat

e^{x}

nooit 0 is, geldt

f^{'} (x) = 0

alleen voor

x = - 1

. De factor

1 + x

is negatief links van

- 1

en positief rechts ervan, dus daar ligt een minimum:

f (- 1) = - \frac{1}{e} \approx - 0, 368

Welke regel kies je

Kijk naar de laatste bewerking die je zou uitvoeren als je de functiewaarde berekent.

laatste bewerking	regel
optellen of aftrekken	somregel, term voor term
vermenigvuldigen van twee functies met $x$	productregel
delen van twee functies met $x$	quotiëntregel
een functie van een uitdrukking	kettingregel

Soms heb je twee regels nodig. Bij $x \cdot e^{2 x}$ pas je de productregel toe en daarin de kettingregel voor $e^{2 x}$ : de afgeleide is $1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = (1 + 2 x) e^{2 x}$ .

Werk waar het kan eerst uit of vereenvoudig: dat scheelt fouten.

Valkuilen

**De productregel als $f^{'} \cdot g^{'}$ .** Het is $f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$ .
De kettingregel vergeten. De afgeleide van $e^{2 x}$ is $2 e^{2 x}$ en niet $e^{2 x}$ .
De volgorde in de quotiëntregel. In de teller staat $f^{'} \cdot g - f \cdot g^{'}$ ; de volgorde omdraaien geeft een teken fout.
** $ln (x)$ en de kettingregel.** De afgeleide van $ln (x)$ is $\frac{1}{x}$ . Staat er $ln (g (x))$ , dan komt er nog een factor $g^{'} (x)$ bij: de afgeleide is $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ .
** $g^{x}$ differentiëren met de machtsregel.** Bij $g^{x}$ staat de variabele in de exponent, dus gebruik je $ln (g) \cdot g^{x}$ en niet $x \cdot g^{x - 1}$ .

In het kort

Productregel: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ . Quotiëntregel: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .
Kettingregel: $\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ . Differentieer buiten, laat binnen staan, en vermenigvuldig met de afgeleide van binnen.
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(g^{x})^{'} = ln (g) \cdot g^{x}$ en $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
Kies de regel op basis van de laatste bewerking, en werk uit of vereenvoudig waar het kan.

Meer Wiskunde A uit de Oefentoetsen

Telproblemen en combinatoriek

Samenvatting

Telproblemen en combinatoriek

Wiskunde A · vwo 6

Oppervlakte van vlakke figuren

Samenvatting

Oppervlakte van vlakke figuren

Wiskunde A · vwo 2

VRAAG 1 · OPPERVLAKTE VAN VLAKKE FIGUREN

Oefentoets

6 vragen

Oppervlakte van vlakke figuren

Wiskunde A · vwo 2

Oppervlakte van vlakke figuren

Studieset

8 kaarten

Oppervlakte van vlakke figuren

Wiskunde A · vwo 2

Bekijk alles voor wiskunde A vwo

Staat hier iets dat niet klopt of niet hoort? .

Samenvatting · Wiskunde A · vwo 5 Differentiëren: product-, quotiënt- en kettingregel

Wat je al kent

De productregel

De quotiëntregel

De kettingregel

Exponentiële en logaritmische functies

Welke regel kies je

Valkuilen

In het kort

Meer Wiskunde A uit de Oefentoetsen

Telproblemen en combinatoriek

Oppervlakte van vlakke figuren

Oppervlakte van vlakke figuren

Oppervlakte van vlakke figuren

Probeer het met je volgende toets