COMMUNITY

Samenvatting · Wiskunde A · vwo 5 Extremen, raaklijnen en optimaliseren met de afgeleide

StudyZone

Wiskunde AVak

WAT ZIT ERIN

1Met de afgeleide vind je waar een functie het grootst of het kleinst is, en dat is precies wat je nodig hebt bij optimaliseren: de grootste winst, de kleinste kosten, het grootste volume. Na deze samenvatting bepaal je met de afgeleide extremen, stel je een tekenschema op, vind…

Bewaar deze samenvatting

Met de afgeleide vind je waar een functie het grootst of het kleinst is, en dat is precies wat je nodig hebt bij optimaliseren: de grootste winst, de kleinste kosten, het grootste volume. Na deze samenvatting bepaal je met de afgeleide extremen, stel je een tekenschema op, vind je extremen op een gesloten interval en los je een optimaliseringsopgave stap voor stap op.

Extremen vinden

Een maximum of minimum (samen extremen) van een functie ligt op een plaats waar de grafiek van stijgen naar dalen gaat of andersom. In zo'n punt is de raaklijn horizontaal, dus de afgeleide is 0.

Stappenplan

1Bereken

f^{'} (x)

.2Los

f^{'} (x) = 0

op.3Bepaal met een tekenschema van

f^{'}

of het een maximum of minimum is.4Bereken de functiewaarde

f (x)

van het extreem.

Het tekenschema: een maximum ligt waar $f^{'}$ van plus naar min gaat, een minimum waar $f^{'}$ van min naar plus gaat. Verandert $f^{'}$ niet van teken, dan is er geen extreem.

Voorbeeld

Bepaal de extremen van $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

f^{'} (x) = 0

geeft

x = 0

x = 2

.3Maak een tekenschema van

f^{'}

(zie hieronder).4Bij

x = 0

gaat

f^{'}

van plus naar min: maximum

f (0) = 2

. Bij

x = 2

gaat

f^{'}

van min naar plus: minimum

f (2) = 8 - 12 + 2 = - 2

$x$	$x < 0$	$0 < x < 2$	$x > 2$
$f^{'} (x)$	positief	negatief	positief
verloop van $f$	stijgend	dalend	stijgend

De toppen zijn dus $(0, 2)$ en $(2, - 2)$ .

Extremen op een interval

Heeft de functie een beperkt domein, bijvoorbeeld $[a, b]$ , dan kan het grootste of kleinste getal ook aan een rand liggen. Vergelijk dan de functiewaarden in alle kandidaten: de punten met $f^{'} (x) = 0$ binnen het interval en de randpunten.

Voorbeeld

Voor

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

op het interval

[- 1, 3]

zijn de kandidaten

x = - 1

0

2

3

. -

f (- 1) = - 1 - 3 + 2 = - 2

f (0) = 2

f (2) = - 2

f (3) = 27 - 27 + 2 = 2

Het maximum op dit interval is 2 (bij $x = 0$ en bij $x = 3$ ) en het minimum is $- 2$ (bij $x = - 1$ en bij $x = 2$ ).

Optimaliseren

Een optimaliseringsopgave los je op in vaste stappen:

Kies een variabele

x

en geef het domein (wat is mogelijk?).

Stel een formule op voor de grootheid die je wilt optimaliseren, uitgedrukt in

x

Differentieer, stel de afgeleide gelijk aan 0 en los op.

Controleer het domein en de randen, en bepaal of het een maximum of minimum is.

Beantwoord de vraag met eenheid.

Voorbeeld

Uit een vel karton van 30 cm bij 20 cm knip je in elke hoek een vierkantje met zijde $x$ cm. Van de rest vouw je een doos zonder deksel. Voor welke $x$ is de inhoud het grootst?

1De doos heeft lengte

30 - 2 x

, breedte

20 - 2 x

en hoogte

x

, met

0 < x < 10

.2De inhoud is

V (x) = x (30 - 2 x) (20 - 2 x) = 4 x^{3} - 100 x^{2} + 600 x

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 200 x + 600 = 0

. Delen door 4 geeft

3 x^{2} - 50 x + 150 = 0

, met

D = 2500 - 1800 = 700

x = \frac{50 - 700}{6} \approx 3, 92

x = \frac{50 + 700}{6} \approx 12, 74

. De tweede ligt buiten het domein.5Op

(0, 10)

V^{'}

positief links van 3,92 en negatief rechts ervan, dus het is een maximum.

V (3, 92) \approx 1056

.6De inhoud is het grootst voor

x \approx 3, 92

cm, en dan ongeveer 1056 cm³.

Voorbeeld

De concentratie van een medicijn in het bloed is $C (t) = 12 t \cdot e^{- 0, 5 t}$ mg per liter, met $t$ in uren.

1Productregel en kettingregel geven

C^{'} (t) = 12 e^{- 0, 5 t} + 12 t \cdot (- 0, 5) \cdot e^{- 0, 5 t} = 6 e^{- 0, 5 t} (2 - t)

e^{- 0, 5 t}

is nooit 0, dus

C^{'} (t) = 0

voor

t = 2

.3Voor

t < 2

C^{'}

positief en voor

t > 2

negatief: een maximum.4

C (2) = 24 e^{- 1} \approx 8, 83

. De concentratie is na 2 uur het hoogst, ongeveer 8,83 mg per liter.

De raaklijn en de helling

De raaklijn in het punt met $x = a$ is $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Soms is de helling gegeven en zoek je het punt. Dan los je $f^{'} (x) = helling$ op.

Voorbeeld

Waar heeft de grafiek van $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ een raaklijn met helling 2?

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 2

, dus

x = 3

f (3) = 9 - 12 + 5 = 2

, dus het punt is

(3, 2)

.3De raaklijn is

y = 2 (x - 3) + 2 = 2 x - 4

Een raaklijn is evenwijdig aan een lijn als de hellingen gelijk zijn.

Valkuilen

**Alleen $x$ opschrijven.** Vraagt de opgave om de maximale winst, dan is het antwoord $f (x)$ en niet de $x$ waar die ontstaat.
Het domein vergeten. Een oplossing van $f^{'} (x) = 0$ buiten het domein telt niet.
De randen vergeten. Bij een beperkt domein kan het extreem aan de rand liggen.
Niet controleren of het een maximum of minimum is. Gebruik een tekenschema.
Helling 0 is niet altijd een extreem. Bij $f (x) = x^{3}$ is $f^{'} (0) = 0$ , maar $f^{'}$ verandert niet van teken en er is geen extreem.

In het kort

In een extreem is de raaklijn horizontaal: $f^{'} (x) = 0$ . Een tekenschema van $f^{'}$ laat zien of het een maximum (plus naar min) of minimum (min naar plus) is.
Op een gesloten interval vergelijk je de functiewaarden bij $f^{'} (x) = 0$ en bij de randen.
Optimaliseren: formule in één variabele, differentiëren, $f^{'} = 0$ , controleren en antwoorden met eenheid.
De raaklijn bij $x = a$ is $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Is de helling gegeven, los dan $f^{'} (x) = helling$ op.

Meer Wiskunde A uit de Oefentoetsen

Telproblemen en combinatoriek

Samenvatting

Telproblemen en combinatoriek

Wiskunde A · vwo 6

Oppervlakte van vlakke figuren

Samenvatting

Oppervlakte van vlakke figuren

Wiskunde A · vwo 2

VRAAG 1 · OPPERVLAKTE VAN VLAKKE FIGUREN

Oefentoets

6 vragen

Oppervlakte van vlakke figuren

Wiskunde A · vwo 2

Oppervlakte van vlakke figuren

Studieset

8 kaarten

Oppervlakte van vlakke figuren

Wiskunde A · vwo 2

Bekijk alles voor wiskunde A vwo

Staat hier iets dat niet klopt of niet hoort? .

Samenvatting · Wiskunde A · vwo 5 Extremen, raaklijnen en optimaliseren met de afgeleide

Extremen vinden

Extremen op een interval

Optimaliseren

De raaklijn en de helling

Valkuilen

In het kort

Meer Wiskunde A uit de Oefentoetsen

Telproblemen en combinatoriek

Oppervlakte van vlakke figuren

Oppervlakte van vlakke figuren

Oppervlakte van vlakke figuren

Probeer het met je volgende toets