Samenvatting · Wiskunde A · vwo 4 Rekenkundige en meetkundige rijen: formules en sommen

Een rij is een rijtje getallen dat volgens een vaste regel wordt opgebouwd, zoals het aantal stoelen per rij in een zaal of een spaarbedrag na elk jaar. Na deze samenvatting herken je een rekenkundige en een meetkundige rij, stel je een directe en een recursieve formule op, bereken je de som van een aantal termen en pas je dat toe op sparen en groeien.

Rijen, termen en formules

Een rij is een geordende lijst getallen $u_1,u_2,u_3,\dots$. De getallen heten termen. Een rij begint bij $u_1$ of soms bij $u_0$.

Er zijn twee manieren om een rij vast te leggen:

• Met een directe formule, waarmee je $u_n$ rechtstreeks uit $n$ berekent, zoals $u_n=4n+3$.
• Met een recursieve formule, waarmee je $u_n$ uit de vorige term berekent, samen met een beginwaarde. Voorbeeld: $u_n=u_{n-1}+4$ met $u_1=7$ geeft 7, 11, 15, 19, $\dots$

Beide beschrijven dezelfde rij: voor de directe formule $u_n=4n+3$ is $u_1=7$ en $u_{10}=43$.

Rekenkundige rij

Bij een rekenkundige rij is het verschil $v$ tussen twee opeenvolgende termen constant. Elke term is de vorige plus $v$.

• Recursief: $u_n=u_{n-1}+v$.
• Direct, als de rij bij $u_1$ begint: $u_n=u_1+(n-1)\cdot v$.
• Direct, als de rij bij $u_0$ begint: $u_n=u_0+n\cdot v$.

Een rekenkundige rij is de discrete variant van een lineair verband: de grafiek bestaat uit losse punten op een rechte lijn.

Meetkundige rij

Bij een meetkundige rij is het quotiënt $r$ (de reden) van twee opeenvolgende termen constant. Elke term is de vorige maal $r$.

• Recursief: $u_n=r\cdot u_{n-1}$.
• Direct, als de rij bij $u_1$ begint: $u_n=u_1\cdot r^{n-1}$.
• Direct, als de rij bij $u_0$ begint: $u_n=u_0\cdot r^n$.

Een meetkundige rij is de discrete variant van exponentiële groei. De reden $r$ is de groeifactor per stap.

Herkennen

Controleer eerst de eerste paar termen:

De rij 5, 8, 11, 14 is rekenkundig met $v=3$, de rij 5, 10, 20, 40 is meetkundig met $r=2$. De rij 1, 4, 9, 16 is geen van beide, want de verschillen zijn 3, 5, 7 en de quotiënten 4, 2,25 en 1,78.

Sommen van rijen

De som van de eerste $n$ termen schrijf je met het sommatieteken $\Sigma$:

Rekenkundige som. Het gemiddelde van de eerste en de laatste term, maal het aantal termen:

Zo is $1+2+\cdots +100=\frac{100}{2}\cdot (1+100)=5050$.

Meetkundige som. Met $r\ne 1$ en $u_1$ als eerste term:

Toepassing: sparen met een jaarlijkse storting

Op de GR kun je zo'n som controleren met de functies sum en seq.

Valkuilen

• Het aantal termen verkeerd tellen. Van $u_2$ naar $u_5$ zijn het 3 stappen, niet 4.
• De verkeerde beginterm. Begint de rij bij $u_0$, dan is de formule $u_0\cdot r^n$ in plaats van $u_1\cdot r^{n-1}$.
• Rekenkundig en meetkundig verwisselen. Verschil constant is rekenkundig, quotiënt constant is meetkundig.
• Het aantal termen in een som. Een som van $u_0$ tot en met $u_9$ heeft 10 termen en niet 9.
• **De somformule bij $r=1$.** Dan is $S_n=n\cdot u_1$; de formule met $r-1$ in de noemer werkt dan niet.

In het kort

• Rekenkundig: constant verschil $v$, $u_n=u_1+(n-1)v$. Meetkundig: constante reden $r$, $u_n=u_1\cdot r^{n-1}$.
• Een recursieve formule gebruikt de vorige term, een directe formule gebruikt alleen $n$.
• Rekenkundige som: $S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)$.
• Meetkundige som: $S_n=u_1\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$ voor $r\ne 1$.
• Een meetkundige rij is exponentiële groei in losse stappen: $r$ is de groeifactor.