Samenvatting · Wiskunde B · havo 5 Differentiëren met product-, quotiënt- en kettingregel (havo)

Functies als $x\cdot \ln (x)$, $\frac{x}{x+1}$ en $(2x+1{)}^5$ differentieer je niet term voor term. Na deze samenvatting ken je de afgeleiden van $e^x$, $\ln (x)$ en de andere standaardfuncties en pas je de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel foutloos toe.

Standaardafgeleiden

Naast de afgeleide van $x^n$ moet je deze afgeleiden kennen:

Zo is de afgeleide van $2^x$ gelijk aan $2^x\cdot \ln (2)$. Merk op dat $e^x$ zijn eigen afgeleide is, omdat $\ln (e)=1$.

De productregel

Is $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, dan geldt:

Voorbeelden:

• $f(x)=x\ln (x)$ geeft $f^{\prime }(x)=1\cdot \ln (x)+x\cdot \frac{1}{x}=\ln (x)+1$.
• $f(x)=(x^2+1)e^x$ geeft $f^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=(x^2+2x+1)e^x=(x+1{)}^2{e}^x$.

Haal bij een uitkomst met $e^x$ de factor $e^x$ buiten haakjes. Dat maakt het oplossen van $f^{\prime }(x)=0$ makkelijker.

De quotiëntregel

Is $f(x)=\frac{t(x)}{n(x)}$ met teller $t$ en noemer $n$, dan geldt:

Voorbeelden:

• $f(x)=\frac{x}{x+1}$ geeft $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)\cdot 1-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$.
• $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$ geeft $f^{\prime }(x)=\frac{x\cdot \frac{1}{x}-\ln (x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$.

De kettingregel

Een samengestelde functie heeft een binnenste en een buitenste functie. Bij $y=(2x+1{)}^5$ is $u=2x+1$ de binnenste functie en $y=u^5$ de buitenste. Dan geldt:

In woorden: de afgeleide van de buitenste functie (met de binnenste ongemoeid), maal de afgeleide van de binnenste functie.

Bij een lineaire binnenfunctie $ax+b$ vermenigvuldig je de afgeleide van de buitenste functie gewoon met $a$.

Regels combineren

Kijk eerst naar de buitenste structuur: is de functie een product, een quotiënt of een samenstelling? Gebruik die regel en daarbinnen de andere regels.

Toepassing: een maximum en een raaklijn

Valkuilen

• Een product per factor differentiëren. De afgeleide van $x\ln (x)$ is niet $1\cdot \frac{1}{x}$.
• Kettingregel vergeten. De afgeleide van $\ln (2x+3)$ is $\frac{2}{2x+3}$ en niet $\frac{1}{2x+3}$.
• **De machtsregel bij $e^{2x}$.** De afgeleide is $2e^{2x}$ en niet $2x\cdot e^{2x-1}$, want de exponent bevat de variabele.
• **De verkeerde formule voor $g^x$.** De afgeleide van $2^x$ is $2^x\ln (2)$ en niet $x\cdot 2^{x-1}$.
• De volgorde in de quotiëntregel. Eerst noemer maal afgeleide teller, dan min teller maal afgeleide noemer.
• Minteken bij de cosinus. De afgeleide van $\cos (x)$ is $-\sin (x)$.

In het kort

• Standaard: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(g^x{)}^{\prime }=g^x\ln (g)$, $(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $({}^g\log (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln (g)}$.
• Productregel: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$.
• Quotiëntregel: ${\left(\frac{t}{n}\right)}^{\prime }=\frac{n\cdot t^{\prime }-t\cdot n^{\prime }}{n^2}$.
• Kettingregel: afgeleide van de buitenste functie maal de afgeleide van de binnenste functie.
• Bij een extreem los je $f^{\prime }(x)=0$ op en controleer je met een tekenschema van $f^{\prime }$.