Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Intervallen en stijgen of dalen

Een interval is een deel van de getallenlijn. De haken geven aan of de grenswaarden wel of niet meetellen.

Ook zijn er onbegrensde intervallen, zoals $⟨\leftarrow ,5⟩$: alle $x$-waarden kleiner dan 5. De verzameling van alle reële getallen is $\mathbb{R}$, genoteerd als $⟨\leftarrow ,\to ⟩$.

Een grafiek is stijgend als $y$ groter wordt wanneer $x$ toeneemt. Een grafiek is dalend als $y$ kleiner wordt wanneer $x$ toeneemt. Noem bij een vraag altijd de grootst mogelijke intervallen.

Er zijn zes soorten van stijgen en dalen:

Toename en toenamediagrammen

De verandering van een grootheid $y$ op een interval bereken je met:

Bijvoorbeeld: als $y$ van 9 naar 14 gaat op $[2,3]$, dan is

Bij een afname is $\Delta y$ negatief. Daalt $y$ bijvoorbeeld van 12 naar 7, dan geldt:

Een toenamediagram laat de veranderingen per gelijke stap zien. Bij stapgrootte $\Delta x=1$ hoort bij elk interval, bijvoorbeeld $[3,4]$, één verticale lijnstuk.

• Het verticale lijnstuk staat bij de rechtergrens van het interval.
• Bij een toename ligt het lijnstuk boven de horizontale as.
• Bij een afname ligt het lijnstuk onder de horizontale as.

Een toenamediagram vertelt dus hoe sterk een grafiek per stap stijgt of daalt. Gelijke positieve toenamen bij gelijke stappen passen bij constante stijging, dus bij een rechte stijgende grafiek.

Gemiddelde verandering en differentiequotiënt

De gemiddelde verandering geeft aan hoeveel $y$ gemiddeld verandert per eenheid $x$:

Bij een tijd-afstandgrafiek is dit de gemiddelde snelheid:

Bijvoorbeeld: een afstand neemt toe van 5 km naar 9,5 km in 10 minuten. Dan is de gemiddelde snelheid:

Noem bij gemiddelde snelheid of gemiddelde verandering altijd de eenheid.

Het differentiequotiënt van $y$ op $[x_A,x_B]$ is:

Dit is ook de richtingscoëfficiënt, dus de helling, van de lijn door $A$ en $B$.

Bij een functievoorschrift geldt op $[a,b]$:

Voor $f(x)=x^2$ op $[-3,1]$:

De gemiddelde verandering is hier dus $-2$.

Snelheid op één moment en raaklijnen

De snelheid op één moment kun je benaderen met het differentiequotiënt op een zeer klein interval $[a,a+\Delta t]$, bijvoorbeeld met $\Delta t=0,01$ of $\Delta t=0,001$.

Bij $s=\frac{1}{2}{t}^3$ kun je de snelheid op $t=2$ benaderen met:

Hoe kleiner het interval, hoe beter de benadering. In een tijd-afstandgrafiek is de snelheid op $t=a$ gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het bijbehorende punt.

Hellinggrafieken en afgeleiden

De hellinggrafiek geeft voor elke $x$ de helling van de grafiek van $f$.

• Als $f$ stijgend is, ligt de hellinggrafiek boven de $x$-as.
• Als $f$ dalend is, ligt de hellinggrafiek onder de $x$-as.
• In een top of dal van $f$ is de helling nul; de hellinggrafiek snijdt daar de $x$-as.
• Waar $f$ het sterkst stijgt, heeft de hellinggrafiek een hoogste punt.

De hellingfunctie heet de afgeleide functie, genoteerd als $f^{\prime }$.

Belangrijke afleidingsregels zijn:

Bijvoorbeeld:

geeft:

De afgeleide $f^{\prime }(x)$ geeft dus de helling van de grafiek van $f$ bij elke waarde van $x$.