Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Evenredigheidsverbanden: recht, omgekeerd en machtsverbanden

Hoeveel wordt een grootheid groter als een andere groter wordt? Bij evenredigheidsverbanden is daar een vaste regel voor: de ene grootheid is een constante keer de andere, of keer een macht van de andere. Na deze samenvatting herken je recht en omgekeerd evenredige verbanden, bepaal je de exponent en de constante van een machtsverband en reken je met schaalvergroting en logaritmische schalen.

Recht evenredig

Twee grootheden $a$ en $b$ zijn recht evenredig als $a=c\cdot b$, met $c$ de evenredigheidsconstante. Het quotiënt $\frac{a}{b}$ is dan altijd gelijk aan $c$. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong.

Let op het verschil met een lineair verband. Bij $K=3,2\cdot g+5$ (met 5 euro vaste kosten) is de grafiek ook een rechte lijn, maar niet door de oorsprong. Dan is $K$ niet recht evenredig met $g$: bij dubbel zoveel kilo's wordt de prijs niet dubbel zo hoog.

Omgekeerd evenredig

Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als $a=\frac{c}{b}$. Het product $a\cdot b$ is dan constant, namelijk $c$. De grafiek is een hyperbool.

Constante bepalen: Is $a=15$ bij $b=4$, dan is $c=a\cdot b=60$. Bij $b=10$ hoort dan $a=\frac{60}{10}=6$.

Machtsverbanden

Het algemene machtsverband heeft de vorm

Je zegt: $a$ is evenredig met $b^d$. Recht evenredig is het geval $d=1$ en omgekeerd evenredig het geval $d=-1$.

De exponent en de constante bepalen. Heb je twee meetpunten, dan deel je ze op elkaar. Uit $a_1=c\cdot b_1^d$ en $a_2=c\cdot b_2^d$ volgt

Voorbeeld met een wortel: Is $a=12$ bij $b=9$ en geldt $a=c\sqrt{b}$, dan is $c=\frac{12}{3}=4$. Bij $b=25$ is $a=4\cdot 5=20$.

Schaalvergroting

Vermenigvuldig je $b$ met een factor $k$, dan wordt $a$ vermenigvuldigd met $k^d$. Dat is het effect van schaalvergroting.

• Lengtes schalen met $k$, oppervlaktes met $k^2$ en inhouden met $k^3$.
• Is $d$ negatief, dan wordt $a$ juist kleiner: bij $d=-2$ en $k=3$ wordt $a$ negen keer zo klein.

Voorbeeld 1: De inhoud van een bol is evenredig met $r^3$. Wordt de straal 2 keer zo groot, dan wordt de inhoud $2^3=8$ keer zo groot. Wordt de straal 1,5 keer zo groot, dan wordt de inhoud $1,5^3=3,375$ keer zo groot.

Voorbeeld 2 (procenten): Een grootheid is evenredig met $b^3$. Wordt $b$ 20% groter, dan is $k=1,2$ en wordt $a$ $1,2^3=1,728$ keer zo groot, dus 72,8% groter. Niet 60%: je rekent met de groeifactor in de macht.

Meer variabelen

Hangt een grootheid van meer dan een grootheid af, dan vermenigvuldig je de machten.

Logaritmische schaalverdeling

Bij een machtsverband geldt, na het nemen van de logaritme:

Zet je beide assen op een logaritmische schaal (elke stap van een factor 10 is even groot), dan wordt de grafiek van $a=c\cdot b^d$ een rechte lijn:

• de richtingscoëfficiënt van die lijn is de exponent $d$;
• bij $b=1$ lees je $a=c$ af, want $\log 1=0$.

Valkuilen

• Lineair en recht evenredig door elkaar halen. Alleen $a=c\cdot b$, zonder optelconstante, is recht evenredig.
• **Bij $d=2$ verdubbelen.** Wordt $b$ twee keer zo groot, dan wordt $a$ vier keer zo groot, niet twee keer.
• Procenten optellen. Bij $d=3$ en 20% groei van $b$ is de groei van $a$ niet $3\cdot 20\%=60\%$, maar $1,2^3-1=72,8\%$.
• De exponent met een verschil bepalen. Gebruik de verhouding $\frac{a_2}{a_1}$, niet $a_2-a_1$.
• De helling op logaritmisch papier uit de getallen op de assen lezen. Reken met de logaritmen van de waarden, niet met de waarden zelf.
• De exponent vergeten bij schaalvergroting van een oppervlak of inhoud. Bij factor $k$ voor de lengte is dat $k^2$ en $k^3$, niet $k$.

In het kort

• Recht evenredig: $a=c\cdot b$, dus $\frac{a}{b}$ is constant. Omgekeerd evenredig: $a=\frac{c}{b}$, dus $a\cdot b$ is constant.
• Machtsverband: $a=c\cdot b^d$. Bepaal $d$ met $\frac{a_2}{a_1}={\left(\frac{b_2}{b_1}\right)}^d$ en daarna $c$ door in te vullen.
• Vermenigvuldig je $b$ met $k$, dan wordt $a$ vermenigvuldigd met $k^d$.
• Op dubbellogaritmisch papier is een machtsverband een rechte lijn met helling $d$ en $a=c$ bij $b=1$.