COMMUNITY

Samenvatting · Wiskunde B · havo 5 Extremen berekenen en optimaliseren met de afgeleide

StudyZone

Wiskunde BVak

WAT ZIT ERIN

1Wat is de grootste oppervlakte die je met een bepaalde hoeveelheid hek kunt omheinen, of de maximale inhoud van een doos? Zulke vragen los je op met de afgeleide. Na deze samenvatting bereken je toppen en dalen van een functie en gebruik je dat om een grootheid te…

Bewaar deze samenvatting

Wat is de grootste oppervlakte die je met een bepaalde hoeveelheid hek kunt omheinen, of de maximale inhoud van een doos? Zulke vragen los je op met de afgeleide. Na deze samenvatting bereken je toppen en dalen van een functie en gebruik je dat om een grootheid te optimaliseren.

Extremen en de afgeleide

Een top is een maximum en een dal is een minimum. Samen heten ze extremen. In een top of dal is de raaklijn horizontaal, dus $f^{'} (x) = 0$ . Zo'n punt heet een stationair punt.

Pas op: uit $f^{'} (a) = 0$ volgt niet altijd een extreem. Bij $f (x) = x^{3}$ is $f^{'} (0) = 0$ , maar de grafiek stijgt voor en na $x = 0$ . Er is een extreem als $f^{'}$ bij $x = a$ van teken wisselt.

Stappenplan voor extremen:

Bereken

f^{'} (x)

Los

f^{'} (x) = 0

op.

Maak een tekenschema van

f^{'}

. Van plus naar min is een maximum, van min naar plus een minimum.

Bereken de

y

-coördinaat: dat is de extreme waarde.

Voorbeeld

Bepaal de extremen van $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ .

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)

f^{'} (x) = 0

geeft

x = 1 \lor x = 3

.3Het tekenschema van

f^{'}

staat hieronder. Het teken wisselt bij beide nulpunten.4

f (1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5

f (3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1

. De top is

(1, 5)

en het dal is

(3, 1)

$x$	$x < 1$	1	$1 < x < 3$	3	$x > 3$
$f^{'} (x)$	plus	0	min	0	plus
$f$	stijgend	maximum	dalend	minimum	stijgend

Extremen op een interval

Is het domein een gesloten interval $[a, b]$ , dan kan het grootste of kleinste punt ook aan de rand liggen. Vergelijk daarom de extremen met $f (a)$ en $f (b)$ .

Voorbeeld

Bekijk dezelfde functie op het interval

[0, 5]

. Er geldt

f (0) = 1

f (1) = 5

f (3) = 1

f (5) = 125 - 150 + 45 + 1 = 21

. Het maximum op dit interval is dus 21, bij de rand

x = 5

. Het minimum is 1 en wordt aangenomen bij

x = 0

en bij

x = 3

Met de GR vind je toppen en dalen ook met de optie voor maximum of minimum. Gebruik dat om je berekening te controleren.

Optimaliseren

Stappenplan

1Stel een formule op voor de grootheid die je wilt optimaliseren, met één variabele. Gebruik een gegeven voorwaarde om de andere variabele weg te werken.2Bepaal het domein van de variabele.3Differentieer en los

f^{'} (x) = 0

op.4Controleer met een tekenschema (en de randen) of het een maximum of minimum is.5Beantwoord de vraag in de context, met eenheid.

Voorbeeld 1: een weiland. Een boer heeft 40 meter hek en wil een rechthoekig weiland maken langs een sloot. Langs de sloot is geen hek nodig. Hoe groot kan de oppervlakte maximaal zijn?

Noem de zijde loodrecht op de sloot

x

. De zijde langs de sloot is dan

40 - 2 x

meter.

A (x) = x (40 - 2 x) = 40 x - 2 x^{2}

met domein

0 < x < 20

A^{'} (x) = 40 - 4 x = 0

geeft

x = 10

A^{'} (x) > 0

voor

x < 10

A^{'} (x) < 0

voor

x > 10

, dus bij

x = 10

is er een maximum.

A (10) = 10 \cdot 20 = 200

. De maximale oppervlakte is 200 m

^{2}

, bij afmetingen van 10 m bij 20 m.

Voorbeeld 2: een doos. Uit een vierkant stuk karton van 30 cm bij 30 cm snijd je in elke hoek een vierkantje met zijde $x$ weg. Daarna vouw je een doos zonder deksel. Voor welke $x$ is de inhoud maximaal?

De bodem is

(30 - 2 x)

bij

(30 - 2 x)

en de hoogte is

x

, dus

V (x) = x (30 - 2 x)^{2} = 4 x^{3} - 120 x^{2} + 900 x

Het domein is

0 < x < 15

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 240 x + 900 = 12 (x^{2} - 20 x + 75) = 12 (x - 5) (x - 15)

. Dus

x = 5

x = 15

, en

x = 15

valt buiten het domein.

Voor

x < 5

V^{'} (x) > 0

en voor

5 < x < 15

V^{'} (x) < 0

, dus bij

x = 5

is er een maximum.

V (5) = 5 \cdot 2 0^{2} = 2000

. De maximale inhoud is 2000 cm

^{3}

, bij een doos van 20 cm bij 20 cm bij 5 cm.

Valkuilen

Stationair is niet altijd een extreem. Controleer of $f^{'}$ van teken wisselt.
De verkeerde grootheid noemen. Vraagt de opgave de maximale oppervlakte, geef dan $A (10)$ en niet alleen $x = 10$ .
De randen vergeten. Op een gesloten interval kan het maximum of minimum aan de rand liggen.
Het domein vergeten. Een oplossing zoals $x = 15$ in de doos-opgave valt buiten het domein en geeft inhoud 0.
Twee variabelen in de formule laten staan. Gebruik de voorwaarde (zoals 40 meter hek) om er één weg te werken.
Niet controleren of het een maximum of minimum is. Maak altijd een tekenschema.

In het kort

In een top of dal is $f^{'} (x) = 0$ ; een extreem heeft een tekenwisseling van $f^{'}$ .
Plus naar min van $f^{'}$ betekent een maximum, min naar plus betekent een minimum.
De extreme waarde is de $y$ -coördinaat, dus bereken $f (x)$ bij de gevonden $x$ .
Op een gesloten interval vergelijk je de extremen met de randwaarden.
Optimaliseren: formule in één variabele, domein, $f^{'} (x) = 0$ , controleren, antwoord met eenheid.

Meer Wiskunde B uit de Oefentoetsen

VRAAG 1 · VERANDERINGEN, HELLINGEN EN AFGELEIDEN

Oefentoets

10 vragen

Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Wiskunde B · havo 4

Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Samenvatting

Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Wiskunde B · havo 4

afgeleide en raaklijn

Studieset

22 kaarten

Afgeleide en raaklijn: differentieerregels, helling en raaklijnen

Wiskunde B · havo 4

afgeleide en raaklijn

Samenvatting

Afgeleide en raaklijn: helling bepalen en differentiëren

Wiskunde B · havo 4

Bekijk alles voor wiskunde B havo

Staat hier iets dat niet klopt of niet hoort? .

Samenvatting · Wiskunde B · havo 5 Extremen berekenen en optimaliseren met de afgeleide

Extremen en de afgeleide

Extremen op een interval

Optimaliseren

Valkuilen

In het kort

Meer Wiskunde B uit de Oefentoetsen

Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Veranderingen, hellingen en afgeleiden

Afgeleide en raaklijn: differentieerregels, helling en raaklijnen

Afgeleide en raaklijn: helling bepalen en differentiëren

Probeer het met je volgende toets