Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Grafieken transformeren: verschuiven, vermenigvuldigen, spiegelen

Veel grafieken ontstaan uit een eenvoudige grafiek die je verschuift, rekt, krimpt of spiegelt. Na deze samenvatting herken je zo'n transformatie in een formule, bereken je waar een punt terechtkomt en stel je zelf de formule van de nieuwe grafiek op.

Verschuiven

• $y=f(x)+d$: de grafiek schuift $d$ omhoog (bij negatieve $d$ omlaag).
• $y=f(x-c)$: de grafiek schuift $c$ naar rechts (bij negatieve $c$ naar links).

Let op het teken bij de horizontale verschuiving: $f(x+2)$ schuift de grafiek 2 naar links.

Voorbeelden: De grafiek van $g(x)=(x-3{)}^2+1$ is de parabool $y=x^2$ die 3 naar rechts en 1 omhoog is geschoven, dus de top is $(3,1)$. De grafiek van $h(x)=\sqrt{x+4}-2$ ontstaat uit $y=\sqrt{x}$ door 4 naar links en 2 omlaag te schuiven, dus het beginpunt is $(-4,-2)$.

Vermenigvuldigen

• $y=a\cdot f(x)$: **vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$-as met factor $a$. Alle $y$-coördinaten worden $a$ keer zo groot. De nulpunten blijven op hun plek.
• $y=f(bx)$: **vermenigvuldigen ten opzichte van de $y$-as met factor $\frac{1}{b}$. Alle $x$-coördinaten worden door $b$ gedeeld. Het snijpunt met de $y$-as blijft op zijn plek.

Spiegelen

• $y=-f(x)$: spiegelen in de $x$-as.
• $y=f(-x)$: spiegelen in de $y$-as.

Zo ligt $y=-\sqrt{x}$ onder de $x$-as. De grafiek van $y=\sqrt{-x}$ ligt links van de $y$-as, met domein $x\le 0$. En $2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ is de spiegeling van $2^x$ in de $y$-as.

Overzicht

Een punt $(p,q)$ op de grafiek van $f$ komt op de nieuwe grafiek terecht op:

Meerdere transformaties

Bij $y=a\cdot f(b(x-c))+d$ pas je eerst het vermenigvuldigen toe en daarna het verschuiven. Een punt $(p,q)$ wordt dan $(\frac{p}{b}+c,a\cdot q+d)$.

Voorbeeld 1: $g(x)=-2(x+1{)}^2+5$ ontstaat uit $f(x)=x^2$.

Voorbeeld 2: Het punt $(4,2)$ ligt op de grafiek van $f(x)=\sqrt{x}$. De nieuwe grafiek is $g(x)=3\sqrt{x-1}+2$. Het punt komt op $(4+1,3\cdot 2+2)=(5,8)$. Controle: $g(5)=3\cdot 2+2=8$.

Asymptoten schuiven mee

• $y=\frac{1}{x}$ heeft de asymptoten $x=0$ en $y=0$. De grafiek van $y=\frac{1}{x-2}+3$ heeft de asymptoten $x=2$ en $y=3$.
• $y=2^x$ heeft de asymptoot $y=0$. Bij $y=2^x+3$ is de asymptoot $y=3$.
• Een verschuiving naar rechts van een exponentiële grafiek is hetzelfde als vermenigvuldigen: $2^{x-3}=\frac{2^x}{8}=\frac{1}{8}\cdot 2^x$.

Sinusoïden

De sinusoïde $y=a+b\sin (c(x-d))$ ontstaat uit $y=\sin (x)$ door vermenigvuldigen met $b$ ten opzichte van de $x$-as (de amplitude), met $\frac{1}{c}$ ten opzichte van de $y$-as (de periode wordt $\frac{2\pi }{c}$), en daarna $d$ naar rechts en $a$ omhoog te schuiven.

Valkuilen

• Het teken bij verschuiven. $f(x-3)$ schuift naar rechts, $f(x+3)$ naar links.
• **Vermenigvuldigen met $b$ in plaats van $\frac{1}{b}$.** Bij $f(2x)$ worden de $x$-coördinaten gedeeld door 2 en niet verdubbeld.
• De volgorde. $2f(x)+3$ is iets anders dan $2(f(x)+3)=2f(x)+6$.
• **Verschuiving afgelezen zonder $b$ buiten haakjes te halen.** Bij $f(2x-6)$ schrijf je $f(2(x-3))$. De verschuiving is 3 en niet 6.
• **$-f(x)$ en $f(-x)$ verwisselen.** Het eerste spiegelt in de $x$-as, het tweede in de $y$-as.

In het kort

• $f(x)+d$ verschuift omhoog en $f(x-c)$ verschuift naar rechts.
• $a\cdot f(x)$ vermenigvuldigt ten opzichte van de $x$-as met $a$; $f(bx)$ vermenigvuldigt ten opzichte van de $y$-as met $\frac{1}{b}$.
• $-f(x)$ spiegelt in de $x$-as en $f(-x)$ in de $y$-as.
• Bij $a\cdot f(b(x-c))+d$ eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven.
• Asymptoten, toppen en beginpunten verschuiven mee met de grafiek.
• Haal bij de verschuiving eerst de factor $b$ buiten haakjes.