Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Kwadratische functies: top, nulpunten en de abc-formule

Een bal die omhoog vliegt en weer naar beneden valt, volgt een parabool. Na deze samenvatting bereken je van een kwadratische functie de nulpunten, de top en de snijpunten met de assen, los je kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden op en stel je zelf een formule op.

Kwadratische functies en parabolen

Een kwadratische functie heeft de vorm $f(x)=a{x}^2+bx+c$ met $a\ne 0$. De grafiek is een parabool.

• Is $a>0$, dan is het een dalparabool (open naar boven). De top is het laagste punt.
• Is $a<0$, dan is het een bergparabool (open naar beneden). De top is het hoogste punt.
• De parabool is symmetrisch ten opzichte van de lijn door de top, de symmetrieas $x=-\frac{b}{2a}$.
• De grafiek snijdt de $y$-as in het punt $(0,c)$.

Vergelijkingen oplossen

Breng een kwadratische vergelijking altijd eerst op de vorm $a{x}^2+bx+c=0$. Daarna kies je een van deze methoden.

De discriminant is $D=b^2-4ac$. Daarmee bepaal je het aantal oplossingen en bereken je ze:

Voorbeeld 1: Los op $2x^2-3x-5=0$.

Voorbeeld 2: Los exact op $x^2-4x+1=0$. Hier is $D=16-4=12$ en $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, dus $x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\vee x=2-\sqrt{3}$.

De top van de parabool

De top ligt op de symmetrieas, dus $x_{top}=-\frac{b}{2a}$. De $y$-coördinaat van de top vind je door deze $x$ in de formule in te vullen. Bij twee nulpunten ligt de top precies in het midden daartussen.

Bij $g(x)=-2x^2+8x-3$ is $x_{top}=-\frac{8}{2\cdot (-2)}=2$ en $g(2)=-8+16-3=5$. Dit is een bergparabool met maximum 5 en bereik $y\le 5$.

Je kunt de top ook vinden door kwadraat af te splitsen: $x^2-6x+5=(x-3{)}^2-4$. In de vorm $f(x)=a(x-p{)}^2+q$ is de top meteen $(p,q)$.

Snijpunten en ongelijkheden

Snijpunten van twee grafieken vind je door de formules aan elkaar gelijk te stellen. Voorbeeld: $x^2+2x=3x+6$ geeft $x^2-x-6=0$, dus $(x-3)(x+2)=0$ en $x=3\vee x=-2$.

Een ongelijkheid los je op met een schets:

Bij $x^2+2x>3x+6$ herleid je eerst tot $x^2-x-6>0$. Met de nulpunten $-2$ en $3$ geeft dat $x<-2\vee x>3$.

Een formule opstellen

• Zijn de nulpunten $p$ en $q$ bekend, dan is $f(x)=a(x-p)(x-q)$. Het getal $a$ bereken je met een extra punt.
• Is de top $(p,q)$ bekend, dan is $f(x)=a(x-p{)}^2+q$.

Toepassing: een bal

De hoogte van een bal is $h(t)=-5t^2+10t+2$, met $h$ in meter en $t$ in seconden.

Valkuilen

• Niet eerst op 0 herleiden. Bij $x^2=3x+4$ kun je niet zomaar ontbinden; breng alles naar links: $x^2-3x-4=0$.
• **Tekenfout bij $-b$.** Is $b=-3$, dan is $-b=3$.
• **Delen door $x$.** Bij $x^2=5x$ mag je niet delen door $x$, want dan verlies je de oplossing $x=0$. Schrijf $x^2-5x=0$ en breng $x$ buiten haakjes.
• De wortel vergeten of maar één oplossing. Bij $x^2=16$ zijn er twee oplossingen: $4$ en $-4$.
• Top en nulpunt verwarren. De top is het hoogste of laagste punt en alleen een nulpunt als $D=0$.
• Maar een deel van de teller delen. In de abc-formule deel je de hele teller door $2a$, dus ook het deel $-b$.

In het kort

• $f(x)=a{x}^2+bx+c$ heeft een parabool als grafiek: dal bij $a>0$, berg bij $a<0$.
• Nulpunten vind je met buiten haakjes brengen, ontbinden of de abc-formule met $D=b^2-4ac$.
• De top ligt bij $x=-\frac{b}{2a}$; zijn er twee nulpunten, dan ligt hij precies daartussenin.
• Een ongelijkheid los je op met de nulpunten en een schets van de parabool.
• Met twee nulpunten of de top en een extra punt stel je een formule op.
• Controleer altijd of je oplossingen passen bij de situatie, zoals $t\ge 0$.