Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Machten en wortels: rekenregels, machtsfuncties en vergelijkingen

Machten en wortels zijn de basis van bijna alle functies die je in de bovenbouw tegenkomt. Na deze samenvatting herleid je uitdrukkingen met machten en wortels, ken je de grafieken van machts- en wortelfuncties en los je vergelijkingen van de vorm $x^n=c$ en met een wortel foutloos op.

Rekenregels voor machten

Voor $a>0$ en $b>0$ gelden deze regels, ook als de exponenten negatief of gebroken zijn:

Een wortel schrijf je dus als macht met een gebroken exponent: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$. Bij differentiëren en vergelijkingen oplossen is dat vaak de eerste stap.

Voorbeelden van herleiden:

• $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$
• $x\cdot \sqrt{x}=x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}$
• $\frac{x^3}{\sqrt{x}}=x^{3-\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$
• $\frac{1}{x\sqrt{x}}=x^{-\frac{3}{2}}$
• $27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27}{)}^2=3^2=9$
• ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}=2$

Voor wortels zelf gelden ook $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ en $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Zo is $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Een wortel in de noemer werk je weg door teller en noemer met die wortel te vermenigvuldigen: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Machtsfuncties en wortelfuncties

Een machtsfunctie heeft de vorm $f(x)=a\cdot x^n$. De grafiek hangt af van de exponent.

Bij een wortelfunctie mag het getal onder de wortel niet negatief zijn. Voor $f(x)=\sqrt{x-3}+2$ geldt $x-3\ge 0$, dus het domein is $x\ge 3$. De grafiek begint in het punt $(3,2)$ en het bereik is $y\ge 2$.

Vergelijkingen met een macht

Isoleer eerst de macht en trek daarna de wortel.

• Bij een oneven exponent is er altijd precies één oplossing: $x^3=-8$ geeft $x=-2$.
• Bij een even exponent zijn er bij $c>0$ twee oplossingen: $x^4=81$ geeft $x=3\vee x=-3$. Bij $c=0$ is er één oplossing en bij $c<0$ is er geen: $x^4=-16$ heeft geen oplossing.

Voorbeelden:

Vergelijkingen met een wortel

Voorbeeld 1: $\sqrt{3x-2}+4=7$. Isoleren geeft $\sqrt{3x-2}=3$, kwadrateren geeft $3x-2=9$, dus $x=3\frac{2}{3}$. Controle: $\sqrt{3\cdot 3\frac{2}{3}-2}+4=\sqrt{9}+4=7$.

Voorbeeld 2: $\sqrt{x+6}=x$.

Kwadrateren kan een valse oplossing opleveren, want $(-2{)}^2$ en $2^2$ zijn gelijk. Daarom is de controle verplicht.

Ontbinden bij hogere machten

Bij vergelijkingen met een hogere macht breng je eerst alles naar één kant en haal je de gemeenschappelijke factor buiten haakjes.

• $x^3-4x=0$ geeft $x(x^2-4)=0$, dus $x(x-2)(x+2)=0$ en $x=0\vee x=2\vee x=-2$.
• $x^4=9x^2$ geeft $x^4-9x^2=0$, dus $x^2(x^2-9)=0$ en $x=0\vee x=3\vee x=-3$.

Valkuilen

• Een som kwadrateren. $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ en niet $x^2+9$.
• Een som onder een wortel splitsen. $\sqrt{9+16}=5$, maar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.
• Min en haakjes. $-2^4=-16$, maar $(-2{)}^4=16$.
• Negatieve exponent. $2^{-3}=\frac{1}{8}$ en niet $-8$.
• **Delen door $x$.** Bij $x^4=9x^2$ mag je niet delen door $x^2$, want dan verlies je $x=0$.
• Controle vergeten. Na kwadrateren kloppen niet alle oplossingen.
• Bij een even macht één oplossing geven. Bij $x^2=25$ zijn er twee: $5$ en $-5$.

In het kort

• Een wortel is een macht: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ en $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$. Een negatieve exponent betekent omkeren: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Bij $a^p\cdot a^q$ tel je de exponenten op, bij $\frac{a^p}{a^q}$ trek je ze af en bij $(a^p{)}^q$ vermenigvuldig je ze.
• $x^n=c$ heeft bij oneven $n$ één oplossing en bij even $n$ met $c>0$ twee oplossingen: $x=\pm \sqrt[n]{c}$.
• Een wortelfunctie $\sqrt{x-p}$ heeft domein $x\ge p$.
• Wortelvergelijkingen: isoleer de wortel, kwadrateer en controleer altijd.
• Bij hogere machten eerst buiten haakjes brengen en nooit delen door $x$.