Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Toenamediagram en differentiequotiënt: veranderingen beschrijven

Hoe verandert een grootheid? Neemt hij toe of af, en gaat dat steeds sneller of juist langzamer? Een toenamediagram laat dat in een oogopslag zien. Na deze samenvatting teken en lees je een toenamediagram, schets je de grafiek die erbij hoort en bereken en interpreteer je differentiequotiënten.

De toename op een interval

Voor een functie $f$ is de toename op het interval $[a,b]$ het verschil tussen de functiewaarden aan het einde en aan het begin:

De letter $\Delta$ (delta) staat voor een verschil. Evenzo is $\Delta x=b-a$ de lengte van het interval. Is $\Delta y$ positief, dan is de functie gestegen op het interval; is $\Delta y$ negatief, dan is hij gedaald.

Een toenamediagram tekenen

Bij een toenamediagram kies je een vaste stapgrootte $\Delta x$, bijvoorbeeld 1. Voor elk interval teken je een staafje dat zo hoog is als $\Delta y$ op dat interval. Een negatieve toename tekent je als staafje onder de horizontale as.

De staafjes zijn $6,8,6,4,2$ hoog. Er is een toename minder dan er functiewaarden zijn: zes waarden geven vijf intervallen.

Conclusies uit een toenamediagram

Wat je aan de staafjes ziet, zegt iets over de grafiek:

In het voorbeeld zijn alle staafjes positief, dus $N$ stijgt de hele tijd. De staafjes worden eerst hoger (6, 8) en daarna lager (6, 4, 2). De grafiek stijgt dus eerst toenemend en daarna afnemend, en is het steilst rond $t=1,5$.

Van toenamediagram naar grafiek

Met een toenamediagram en een beginwaarde teken je de grafiek: begin bij de beginwaarde en tel steeds de toename erbij op.

De grafiek stijgt eerst, heeft bij $x=2$ en $x=3$ dezelfde hoogte en daalt daarna. Er zit dus een top tussen $x=2$ en $x=3$. Het toenamediagram zegt niets over de beginwaarde: zonder $f(0)$ ken je alleen de vorm, niet de hoogte.

Gemiddelde verandering: het differentiequotiënt

Wil je de verandering per eenheid van $x$ weten, dan deel je de toename door de intervallengte. Dat is het differentiequotiënt:

Het is de gemiddelde verandering op het interval en tegelijk de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten $(a,f(a))$ en $(b,f(b))$. De eenheid is de eenheid van $y$ per eenheid van $x$.

Voorbeeld 1: De temperatuur is om 14:00 uur 20 ${}^{\circ }$C en om 18:00 uur 14 ${}^{\circ }$C. De gemiddelde verandering is $\frac{14-20}{18-14}=-1,5$ ${}^{\circ }$C per uur.

Voorbeeld 2: Voor $f(x)=x^2-4x$ geldt $f(1)=-3$, $f(4)=0$ en $f(0)=0$.

• Op $[1,4]$: $\frac{0-(-3)}{4-1}=1$.
• Op $[0,4]$: $\frac{0-0}{4-0}=0$.

Een gemiddelde verandering van 0 betekent niet dat er niets verandert: de functie daalt eerst tot een dal en stijgt daarna weer terug naar dezelfde waarde.

Steeds kleinere intervallen

Maak je het interval kleiner, dan zegt het differentiequotiënt steeds meer over één moment. Bij $f(x)=x^2$ op het interval $[3,3+h]$ is

Voor $h=1$ is dat 7, voor $h=0,1$ is het 6,1 en voor $h=0,01$ is het 6,01. De waarden naderen 6: dat is de helling van de grafiek in $x=3$, de afgeleide $f^{\prime }(3)$.

Valkuilen

• Begin en einde omdraaien. De toename is eind min begin: $f(b)-f(a)$, niet andersom.
• **Het deel door $\Delta x$ vergeten.** Bij een interval van lengte 2 is de gemiddelde verandering de toename gedeeld door 2.
• De hoogte van een staafje aanzien voor de functiewaarde. Een staafje is een toename, geen waarde van $f$.
• Stijgend verwarren met toenemend stijgend. Positieve staafjes betekenen stijgend; of ze groter of kleiner worden, bepaalt of de grafiek steeds steiler of vlakker stijgt.
• De beginwaarde vergeten bij het schetsen. Zonder $f(0)$ of een ander startpunt ligt de hoogte niet vast.
• Het gemiddelde voor een momentwaarde aanzien. Het differentiequotiënt hoort bij een interval; de afgeleide hoort bij een punt.

In het kort

• Toename: $\Delta y=f(b)-f(a)$. Differentiequotiënt: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, de gemiddelde verandering.
• Een toenamediagram bestaat uit staafjes met hoogte $\Delta y$ per interval met vaste stap.
• Staafjes boven de as: stijgend. Onder de as: dalend. Hoger worden: steeds steiler. Lager worden: steeds vlakker.
• Met een beginwaarde en de toenamen teken je de grafiek.
• Kleinere intervallen laten het differentiequotiënt naderen tot de helling in één punt.