Samenvatting · Wiskunde B · havo 4 Vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels oplossen met algebra en GR

Een vergelijking oplossen betekent: uitzoeken voor welke waarden van $x$ een uitspraak klopt. Soms kan dat exact met algebra, soms alleen met een grafiek of de GR. Na deze samenvatting kies je de juiste methode, los je ongelijkheden op met een schets en reken je met stelsels van twee lineaire vergelijkingen, ook in een context.

Welke methode kies je?

Exact betekent met algebra, met een antwoord als $\frac{1}{3}$ of $\sqrt{2}$. Numeriek betekent dat je de oplossing benadert, bijvoorbeeld met de GR, en afrondt op het gevraagde aantal decimalen.

Exact oplossen

Lineair: $2x+5=3x-7$ geeft $12=x$, dus $x=12$.

Kwadratisch: $3x^2-5x-2=0$. De discriminant is $D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot (-2)=25+24=49$, dus

Met een macht: Bij $x^2=49$ zijn er twee oplossingen, $x=7\vee x=-7$. Bij $x^3=64$ is er maar een, $x=4$. Bij een gebroken exponent neem je de omgekeerde macht: $x^{\frac{3}{2}}=8$ geeft $x=8^{\frac{2}{3}}=4$.

Met een exponent: Bij $5\cdot 2^x=40$ deel je eerst door 5: $2^x=8$, dus $x=3$. Bij $3^x=20$ neem je de logaritme: $x=\frac{\log 20}{\log 3}\approx 2,73$.

Grafisch en numeriek

Is een vergelijking $f(x)=g(x)$ niet te herleiden, dan voer je $f$ en $g$ in je GR in en bepaal je de snijpunten. Stel het venster zo in dat alle snijpunten zichtbaar zijn en rond af zoals gevraagd.

Ongelijkheden oplossen

Voor een ongelijkheid als $f(x)<g(x)$ heb je drie stappen:

Voorbeeld 1: Los $x^2-2x-3<0$ op. De vergelijking $x^2-2x-3=0$ geeft $(x-3)(x+1)=0$, dus $x=-1\vee x=3$. De grafiek is een dalparabool, dus onder de $x$-as tussen de nulpunten: $-1<x<3$.

Voorbeeld 2: Los $x^2\ge 2^x$ op. Uit het vorige voorbeeld zijn de snijpunten $x\approx -0,77$, $x=2$ en $x=4$. Op de GR zie je dat de parabool boven de exponentiële grafiek ligt links van $-0,77$ en tussen 2 en 4. Het antwoord is $x\le -0,77\vee 2\le x\le 4$.

Bij $\le$ en $\ge$ horen de grenzen zelf bij de oplossing, bij $<$ en $>$ niet.

Stelsels van twee lineaire vergelijkingen

Een stelsel bestaat uit twee vergelijkingen met twee onbekenden. Elke vergelijking is een rechte lijn, dus de oplossing is het snijpunt van die lijnen.

Substitutie: Los $2x+3y=12$ en $x-y=1$ op.

Eliminatie: Los $3x+2y=7$ en $5x-2y=9$ op. Tel de vergelijkingen op, dan valt $y$ weg: $8x=16$, dus $x=2$. Invullen geeft $6+2y=7$, dus $y=\frac{1}{2}$.

Hoeveel oplossingen?

Vermenigvuldig je bij het strijdige stelsel de tweede vergelijking met 2, dan staat er $2x+4y=10$ naast $2x+4y=6$: die twee kunnen niet allebei kloppen.

Een vergelijking in een context

Geef het antwoord in de context: A is goedkoper bij minder dan 20 bezoeken per maand.

Valkuilen

• De tweede oplossing vergeten. Bij $x^2=49$ horen $x=7$ en $x=-7$; een kwadratische vergelijking heeft vaak twee oplossingen.
• **Bij $a^x=c$ delen in plaats van de logaritme nemen.** $3^x=20$ geeft niet $x=\frac{20}{3}$.
• Een ongelijkheid oplossen als een vergelijking en dan stoppen. Je hebt de grenzen, maar nog niet het interval.
• Met een negatief getal vermenigvuldigen of delen en het teken laten staan. Bij $-2x<6$ draait het teken om: $x>-3$.
• Alleen de snijpunten in je GR-venster noemen. Controleer of er buiten het venster nog snijpunten liggen.
• Het antwoord niet terugvertalen. In een context hoort er een zin bij, met eenheid.
• **Bij een stelsel $x$ vinden en $y$ vergeten.** De oplossing is een paar $(x,y)$.

In het kort

• Kies de methode op het type: herleiden, ontbinden, abc-formule, macht of logaritme, en voor de rest de GR.
• Een ongelijkheid los je op met de grenzen uit de vergelijking en een schets van de grafieken.
• Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen los je op met substitutie of eliminatie; het is het snijpunt van twee lijnen.
• Twee lijnen snijden (een oplossing), zijn evenwijdig (geen) of vallen samen (oneindig veel).
• Interpreteer de oplossing altijd in de context.