Samenvatting · Wiskunde C · vwo 4 Getallen en formules: machten, wortels, haakjes, ontbinden en vergelijkingen

Bijna elk wiskundeonderwerp begint met vlot rekenen en herleiden: breuken, machten, wortels en haakjes. Wie dat beheerst, maakt de rest van het boek een stuk gemakkelijker. Na deze samenvatting reken je met machten en wortels, werk je haakjes uit, ontbind je in factoren en los je eenvoudige vergelijkingen exact op.

Rekenregels voor machten

Voor $a>0$ en gehele of gebroken exponenten gelden deze regels:

Wortels vereenvoudigen

Er geldt $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ en $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Zoek een kwadraat in het getal onder het wortelteken en haal het eruit:

Een breuk met een wortel in de noemer maak je rationaal door teller en noemer met die wortel te vermenigvuldigen: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

Haakjes uitwerken en merkwaardige producten

Met de distributieve eigenschap werk je haakjes uit: $a(b+c)=ab+ac$ en $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$. Drie producten komen zo vaak voor dat je ze moet herkennen:

Ontbinden in factoren

Ontbinden is haakjes uitwerken in omgekeerde richting. Je hebt drie standaardmethoden:

Combineer ze: $3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$.

Vergelijkingen oplossen

Product is nul: is $A\cdot B=0$, dan is $A=0$ of $B=0$. Daarom ontbind je eerst, en dan lees je de oplossingen af.

Lukt ontbinden niet, gebruik dan de abc-formule voor $a{x}^2+bx+c=0$:

Bij $D>0$ zijn er twee oplossingen, bij $D=0$ één en bij $D<0$ geen.

Breuken: $\frac{A}{B}=0$ betekent $A=0$ (en $B\ne 0$). Bij $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ kun je kruislings vermenigvuldigen: $A\cdot D=B\cdot C$.

Afronden en wetenschappelijke notatie

Zeer grote of kleine getallen schrijf je als $a\cdot 10^n$ met $1\le a<10$. Zo is $4500000=4,5\cdot 10^6$ en $0,00032=3,2\cdot 10^{-4}$. Rond pas af aan het einde van een berekening en niet tussendoor: tussenantwoorden bewaar je op de GR. Vraagt de opgave om significante cijfers, tel dan vanaf het eerste cijfer dat geen nul is.

Let op

• **$(a+b{)}^2$ is niet $a^2+b^2$.** Het middelste product $2ab$ hoort erbij.
• Een min voor haakjes keert alle tekens binnen de haakjes om: $-(x-3)=-x+3$.
• Delen door een term: je mag alleen delen door een factor, niet door een deel van een som. $\frac{x^2+4}{x}$ is niet $x+4$.
• Controleer je oplossing door haar in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.

In het kort

• Machten: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$ en $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Haal kwadraten uit een wortel: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. $\sqrt{a+b}$ is niet $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
• Merkwaardige producten: $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$ en $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
• Ontbind door buiten haakjes te brengen, met som en product, of met het verschil van twee kwadraten.
• Product is nul: één van de factoren is nul. Anders de abc-formule met $D=b^2-4ac$.