Samenvatting · Wiskunde C · vwo 4 Lineaire verbanden: formule, richtingscoëfficiënt, snijpunten en stelsels

Een taxirit kost een vast startbedrag plus een bedrag per kilometer. Zo'n situatie, waarbij iets steeds met hetzelfde bedrag toeneemt, heet een lineair verband. Na deze samenvatting stel je een formule op uit gegevens, lees je een grafiek af en los je stelsels en ongelijkheden op.

De formule $y=ax+b$

Een lineair verband heeft de vorm $y=ax+b$ en een rechte lijn als grafiek.

• $a$ is de richtingscoëfficiënt (rc) of helling: de toename van $y$ als $x$ met 1 toeneemt.
• $b$ is de beginwaarde: de waarde van $y$ bij $x=0$, het snijpunt met de $y$-as.

Bij $a>0$ stijgt de lijn, bij $a<0$ daalt hij, bij $a=0$ is hij horizontaal. Is $b=0$, dan is het verband evenredig: $y=ax$ gaat door de oorsprong, en als $x$ twee keer zo groot wordt, wordt $y$ ook twee keer zo groot.

De richtingscoëfficiënt berekenen

Voor twee punten $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$ op de lijn geldt:

Voorbeeld: een formule opstellen door twee punten. Gegeven zijn $(1,3)$ en $(4,9)$.

Snijpunten en stelsels

Het snijpunt van twee lijnen vind je door de formules aan elkaar gelijk te stellen.

Een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden los je op met substitutie (een variabele vervangen) of eliminatie (de vergelijkingen optellen of aftrekken zodat een onbekende verdwijnt).

Voorbeeld met eliminatie: $x+y=10$ en $x-y=4$. Optellen geeft $2x=14$, dus $x=7$ en $y=3$.

Twee abonnementen vergelijken

Bij keuzeproblemen stel je voor beide opties een formule op en zoek je het omslagpunt, waar ze gelijk zijn. Abonnement A kost 20 euro per maand plus 0,10 euro per sms; abonnement B kost 5 euro per maand plus 0,25 euro per sms.

Ongelijkheden

Een ongelijkheid los je op zoals een vergelijking, met één extra regel: vermenigvuldig of deel je met een negatief getal, dan draait het ongelijkheidsteken om.

• $3x-5<10$ geeft $3x<15$, dus $x<5$.
• $-2x+1>7$ geeft $-2x>6$, dus $x<-3$.

Bij twee lijnen geeft de ongelijkheid $2x+1>-x+7$ de $x$-waarden waarvoor lijn $l$ boven lijn $m$ ligt: $3x>6$, dus $x>2$.

Let op

• Eenheden: $a$ heeft een eenheid, bijvoorbeeld euro per km. Zet die in je antwoord.
• Beginwaarde of rc verwisseld. De vaste kosten zijn $b$, het bedrag per eenheid is $a$.
• Delen door een negatief getal draait het teken om bij ongelijkheden.
• Verticale lijnen ($x=3$) zijn geen functie van $x$ en hebben geen richtingscoëfficiënt.

In het kort

• Een lineair verband is $y=ax+b$: $a$ is de richtingscoëfficiënt, $b$ de beginwaarde.
• Uit twee punten: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, daarna $b$ door een punt in te vullen.
• Een snijpunt vind je door de formules aan elkaar gelijk te stellen.
• Een stelsel los je op met substitutie of eliminatie.
• Delen of vermenigvuldigen met een negatief getal draait het ongelijkheidsteken om.