Samenvatting · Wiskunde D · vwo 6 Bewijzen: direct, uit het ongerijmde en met volledige inductie

In de wiskunde is "het lijkt te kloppen" niet genoeg: een bewering is pas een stelling als je hebt bewezen dat ze altijd klopt. Een goed bewijs is een reeks stappen waarin elke stap logisch volgt uit het voorgaande. Na deze samenvatting herken je de vaste bewijsmethoden en pas je ze toe.

Definities, vermoedens en stellingen

Een definitie legt vast wat een begrip betekent (een even getal is een getal van de vorm $2k$ met $k$ geheel). Een vermoeden is een bewering waarvan je denkt dat ze waar is. Een stelling is een bewezen bewering. Een stelling heeft vaak de vorm "als $A$, dan $B$".

Om een bewering te weerleggen is één tegenvoorbeeld genoeg. De bewering "elk getal $n^2+n+41$ is een priemgetal" lijkt lang te kloppen, maar voor $n=41$ geldt $41^2+41+41=41\cdot 43$. Meerdere voorbeelden die kloppen bewijzen niets.

Direct bewijs

Je begint bij de voorwaarden en redeneert stap voor stap naar de conclusie.

Gebruik voor een deelbaarheidsbewijs de vorm: "$a$ is deelbaar door $d$" betekent $a=d\cdot m$ met $m$ geheel.

Bewijs uit het ongerijmde

Je neemt aan dat de bewering niet waar is en laat zien dat dat tot een tegenspraak leidt. Dan moet de bewering wel waar zijn.

Volledige inductie

Volledige inductie bewijst een bewering voor alle gehele $n\ge n_0$ in twee stappen:

Je kunt dit zien als dominostenen: de eerste valt (basis) en elke steen laat de volgende vallen (stap).

Dit is de formule met $n+1$ in plaats van $n$. $\square$

Meetkundige bewijzen

In de meetkunde gebruik je bekende stellingen als bouwstenen:

• Hoeken: de hoekensom van een driehoek is $180^{\circ }$; bij evenwijdige lijnen zijn Z-hoeken en F-hoeken gelijk; overstaande hoeken zijn gelijk.
• Congruentie: twee driehoeken zijn congruent als ze overeenkomen in ZHZ, HZH of ZZZ.
• Gelijkvormigheid: twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken gelijk zijn (hh), of de verhoudingen van twee zijden gelijk zijn met gelijke tussenhoek, of alle drie de zijden in dezelfde verhouding staan.

Schrijf bij elke stap waarom die geldt. "Dus $\angle A=\angle B$, want Z-hoeken" is een stap; "dus gelijk" niet.

Let op

• Voorbeelden zijn geen bewijs. Een bewering controleren voor $n=1,2,3$ bewijst niets.
• Vergeet de basis niet bij inductie, en gebruik in de stap echt de inductieveronderstelling.
• Draai de bewering niet om. Uit "als $A$ dan $B$" volgt niet "als $B$ dan $A$".
• Bij ongerijmde: de tegenspraak moet echt zijn (met een eerdere aanname of een bekend feit).

In het kort

• Een stelling is een bewezen bewering; één tegenvoorbeeld weerlegt een algemene bewering.
• Direct bewijs: ga stap voor stap van de voorwaarden naar de conclusie.
• Uit het ongerijmde: neem het tegendeel aan en leid een tegenspraak af.
• Volledige inductie: basis plus inductiestap met de inductieveronderstelling.
• Schrijf bij elke meetkundige stap op welke stelling je gebruikt.