Samenvatting · Wiskunde D · vwo 5 Matrices: rekenen, inverse en toepassingen in transformaties en modellen

Een matrix is een rechthoekig rooster van getallen. Met matrices beschrijf je in één keer een stelsel vergelijkingen, een spiegeling of draaiing van een figuur, of de overgang van een populatie van het ene jaar naar het volgende. Na deze samenvatting reken je met matrices en gebruik je ze in transformaties en modellen.

Rekenen met matrices

Een matrix met $m$ rijen en $n$ kolommen heet een $m\times n$-matrix.

• Optellen en aftrekken: alleen bij matrices van dezelfde afmeting, element voor element.
• Vermenigvuldigen met een getal: elk element met dat getal vermenigvuldigen.
• Matrixproduct: het element op rij $i$, kolom $j$ van $A\cdot B$ is het "rij maal kolom"-product: rij $i$ van $A$ en kolom $j$ van $B$, de elementen paarsgewijs vermenigvuldigd en opgeteld. Dit kan alleen als $A$ evenveel kolommen heeft als $B$ rijen.

Het product wisselt hier de kolommen van de eerste matrix om.

Belangrijk: het matrixproduct is niet commutatief. In het algemeen is $A\cdot B\ne B\cdot A$. Wel geldt $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$.

Eenheidsmatrix, determinant en inverse

De eenheidsmatrix $I$ heeft enen op de hoofddiagonaal en nullen elders. Er geldt $A\cdot I=I\cdot A=A$.

Voor een $2\times 2$-matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ is de determinant $\det (A)=ad-bc$. Is de determinant niet 0, dan bestaat de inverse:

met $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$. Is de determinant 0, dan heeft $A$ geen inverse.

Een stelsel oplossen met de inverse

Het stelsel $2x+y=4$ en $5x+3y=11$ schrijf je als $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 11\end{array}\right)$. Vermenigvuldig links met $A^{-1}$:

Controle: $2\cdot 1+2=4$ en $5\cdot 1+3\cdot 2=11$. Dat klopt.

Transformaties van het vlak

Een punt $(x,y)$ schrijf je als kolomvector $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Het beeld onder een transformatie met matrix $M$ is $M\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Enkele standaardmatrices:

De matrix van **eerst $T_1$, dan $T_2$** is $M_2\cdot M_1$: de laatste transformatie staat links. De inverse matrix maakt de transformatie ongedaan. De oppervlakte van een figuur verandert door de transformatie met een factor $|\det (M)|$.

Matrices in modellen: overgangen

Een overgangsmatrix beschrijft hoe een verdeling over toestanden van stap tot stap verandert. Stel: elke maand blijft 80% van de klanten van winkel A bij A (en gaat 20% naar B), terwijl 30% van de klanten van B naar A overstapt en 70% bij B blijft. Met kolomvector $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$ is

Beginnen er 100 klanten allemaal bij A, dan zijn dat na een maand $(80,20)$ en na twee maanden $(0,8\cdot 80+0,3\cdot 20,0,2\cdot 80+0,7\cdot 20)=(70,30)$. Na $n$ maanden is de verdeling $M^n\cdot \left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)$.

Op lange termijn stabiliseert de verdeling: er moet gelden $0,8A+0,3B=A$, dus $0,2A=0,3B$, dus $A:B=3:2$. Bij 100 klanten is dat evenwicht $(60,40)$.

Let op

• Volgorde bij het product. $A\cdot B$ is niet $B\cdot A$, en afmetingen moeten passen.
• Inverse bestaat niet bij determinant 0.
• Meerdere transformaties: de eerste toegepaste matrix staat het dichtst bij de vector, dus rechts in het product.
• Overgangsmatrix: controleer of de kolommen of de rijen optellen tot 1, en houd je aan de conventie van je opgave.

In het kort

• Matrixproduct: rij maal kolom. Het is niet commutatief, maar wel associatief.
• Voor $2\times 2$: $\det =ad-bc$ en $A^{-1}=\frac{1}{\det }\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.
• Stelsel $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ heeft oplossing $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$.
• Transformaties: vermenigvuldiging, spiegeling en draaiing hebben elk een matrix; "eerst $T_1$, dan $T_2$" is $M_2\cdot M_1$.
• Een overgangsmatrix beschrijft een model; de evenwichtsverdeling volgt uit $M\mathbf{v}=\mathbf{v}$.