Samenvatting · Wiskunde D · vwo 5 Toevalsvariabelen en de binomiale verdeling: verwachtingswaarde en spreiding

Een toevalsvariabele beschrijft de uitkomst van een kansexperiment met een getal: het aantal zessen in 10 worpen, het aantal klanten per uur, het aantal pogingen tot je slaagt. Na deze samenvatting stel je een kansverdeling op, bereken je de verwachtingswaarde en spreiding, en werk je met de binomiale verdeling.

Kansverdeling, verwachtingswaarde en spreiding

Een toevalsvariabele $X$ heeft mogelijke waarden $x_1,x_2,\dots$ met kansen $P(X=x_i)$. Samen vormen ze de kansverdeling; de som van alle kansen is 1.

Verwachtingswaarde:

Variantie en standaardafwijking:

De binomiale verdeling

Een experiment met twee uitkomsten (succes met kans $p$, mislukking met kans $1-p$) herhaal je $n$ keer. De herhalingen zijn onafhankelijk en $p$ blijft gelijk. Het aantal successen $X$ is dan binomiaal verdeeld, kort $X\sim \text{bin}(n,p)$:

Op de GR: **binompdf($n$, $p$, $k$)** voor $P(X=k)$ en **binomcdf($n$, $p$, $k$)** voor $P(X\le k)$.

Kansen met "minstens" en "hoogstens"

• $P(X\le k)$ = binomcdf($n$, $p$, $k$).
• $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)$.
• $P(X>k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k)$.

Verwachtingswaarde en spreiding bij bin(n, p)

Bij $n=10$ en $p=0,3$ is $E(X)=3$ en $\sigma =\sqrt{10\cdot 0,3\cdot 0,7}=\sqrt{2,1}\approx 1,45$.

Herhalen tot het eerste succes

Herhaal je een experiment met succeskans $p$ totdat het eerste succes optreedt, dan geldt voor het aantal pogingen $X$:

Sommen en gemiddelden van toevalsvariabelen

Voor onafhankelijke toevalsvariabelen $X_1,\dots ,X_n$, elk met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$, geldt voor de som $S=X_1+\cdots +X_n$:

Variantie telt op, standaardafwijking niet. Het gemiddelde $\bar{X}$ heeft $E(\bar{X})=\mu$ en ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$: dit is de $\sqrt{n}$-wet.

Let op

• Controleer de voorwaarden van bin(n, p): vaste $n$, twee uitkomsten, onafhankelijke pogingen, constante $p$. Trekken zonder terugleggen uit een kleine vaas is niet binomiaal.
• "Minstens" is een complement. Gebruik $k-1$ in binomcdf.
• **$E(X)$ hoeft geen mogelijke waarde te zijn.** Gemiddeld 1,5 euro winst kan niet in één spel.
• Tel standaardafwijkingen niet op. Tel varianties op en trek daarna de wortel.

In het kort

• $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$ en $\sigma =\sqrt{\text{Var}(X)}$.
• Binomiaal: $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$, $E(X)=np$, $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$.
• $P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)$.
• Tot het eerste succes: $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$ en $E(X)=\frac{1}{p}$.
• Bij onafhankelijke metingen telt de variantie op; het gemiddelde heeft standaardafwijking $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.