Samenvatting · Wiskunde D · vwo 5 Voorwaardelijke kans, onafhankelijkheid en de regel van Bayes

Een test voor een zeldzame ziekte is 95% betrouwbaar en jij test positief. Hoe groot is dan de kans dat je echt ziek bent? Veel mensen denken "95%", maar dat klopt meestal niet. Na deze samenvatting reken je correct met voorwaardelijke kansen, kansbomen en de regel van Bayes.

Kansregels op een rij

Voor gebeurtenissen $A$ en $B$ gelden:

• Complementregel: $P(\text{niet }A)=1-P(A)$.
• Somregel: $P(A\text{ of }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ en }B)$. Sluiten ze elkaar uit, dan is het laatste stuk 0.
• Productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen: $P(A\text{ en }B)=P(A)\cdot P(B)$.

Voorwaardelijke kans

De kans op $A$ gegeven dat $B$ al is gebeurd, schrijf je als $P(A\mid B)$. Voorwaarde $B$ maakt de wereld kleiner: je kijkt alleen nog naar de uitkomsten waarin $B$ waar is.

Omgeschreven krijg je de productregel voor het algemene geval:

Onafhankelijkheid

$A$ en $B$ zijn onafhankelijk als het weten van $B$ niets verandert aan de kans op $A$:

Controleer onafhankelijkheid altijd met een berekening, nooit op gevoel. Bij het gooien van een dobbelsteen zijn "even" (kans $\frac{1}{2}$) en "hoger dan 4" (kans $\frac{1}{3}$) onafhankelijk, want $P(\text{even en hoger dan 4})=P(6)=\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}$.

Kansboom en kruistabel

Een kansboom laat zien hoe een experiment in stappen verloopt. Langs een tak vermenigvuldig je de kansen, en over verschillende takken die tot dezelfde uitkomst leiden tel je op. Bij de tweede stap staan voorwaardelijke kansen.

Vaasmodel zonder terugleggen: in een vaas zitten 5 rode en 3 blauwe ballen. Je trekt er twee. De kans op twee rode is:

Na de eerste rode bal zitten er nog 4 rode in 7 ballen, dus de tweede kans is $\frac{4}{7}$.

Een kruistabel met aantallen of kansen helpt als twee eigenschappen samen voorkomen (bijvoorbeeld geslacht en sport).

Totale kans en de regel van Bayes

Is er een ziekte $Z$ en een test met uitkomst positief ($+$), dan geldt voor de totale kans op een positieve test:

De omgekeerde kans vind je met de regel van Bayes:

Van alle positieve uitslagen is dus maar ongeveer een derde echt ziek, omdat de ziekte zo zeldzaam is.

Let op

• **$P(A\mid B)$ is niet $P(B\mid A)$.** De kans dat een zieke positief test (95%) verschilt van de kans dat een positief geteste ziek is (33%).
• Uitsluiten is niet onafhankelijk. Sluiten twee gebeurtenissen met positieve kans elkaar uit, dan zijn ze juist afhankelijk.
• Zonder terugleggen verandert de vaas. Pas de noemers aan in de tweede stap.
• Lees de voorwaarde goed. "Gegeven dat" betekent: de noemer is de kans op de voorwaarde.

In het kort

• $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ en $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)$.
• $A$ en $B$ zijn onafhankelijk als $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
• Totale kans: tel de kansen van alle paden naar de uitkomst op.
• Bayes: $P(Z\mid +)=\frac{P(Z)\cdot P(+\mid Z)}{P(+)}$.
• $P(A\mid B)$ en $P(B\mid A)$ zijn verschillende kansen.