Samenvatting · Wiskunde · vwo 2 Driehoeken, veelhoeken en congruentie: hoeken en kenmerken

Driehoeken en veelhoeken zitten vol regels over hoeken en zijden. Na deze samenvatting ken je de soorten driehoeken, bereken je hoeken in driehoeken en veelhoeken, herken je congruente figuren en gebruik je de congruentiekenmerken om iets te laten zien.

Soorten driehoeken

Je kunt een driehoek indelen naar zijden en naar hoeken.

Een driehoek kan meerdere namen hebben. Een gelijkbenige driehoek kan bijvoorbeeld ook rechthoekig zijn, met hoeken $90^{\circ }$, $45^{\circ }$ en $45^{\circ }$.

Hoeken in een driehoek

De hoekensom van een driehoek is altijd $180^{\circ }$.

Een buitenhoek ontstaat als je één zijde van de driehoek doortrekt. De buitenhoek is gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken.

Hoeken in veelhoeken

Een veelhoek met $n$ hoeken kun je in $n-2$ driehoeken verdelen (bij een veelhoek zonder inspringende hoeken vanuit één hoekpunt). Daarom is de hoekensom

Bij een regelmatige veelhoek zijn alle zijden en alle hoeken gelijk. Dan is elke hoek $\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$ en elke buitenhoek $\frac{360^{\circ }}{n}$. Bij een veelhoek zonder inspringende hoeken zijn de buitenhoeken samen $360^{\circ }$.

Het aantal diagonalen van een veelhoek met $n$ hoeken is $\frac{n(n-3)}{2}$. Een zeshoek heeft er $\frac{6\cdot 3}{2}=9$ en een achthoek $\frac{8\cdot 5}{2}=20$.

Congruente figuren

Twee figuren zijn congruent als ze precies dezelfde vorm en dezelfde afmetingen hebben. Je kunt de ene figuur op de andere leggen door hem te verschuiven, te draaien of te spiegelen. Een spiegelbeeld telt dus ook als congruent.

Bij congruente figuren zijn alle overeenkomstige zijden gelijk en alle overeenkomstige hoeken gelijk. Je schrijft $△ABC\cong △DEF$ en zet de hoekpunten in de volgorde waarin ze bij elkaar horen.

Congruent is meer dan gelijkvormig. Gelijkvormige figuren hebben dezelfde vorm, maar mogen een andere grootte hebben.

Congruentiekenmerken

Je hoeft niet alles te meten om te weten dat twee driehoeken congruent zijn. Deze kenmerken zijn genoeg:

Ook twee hoeken en een willekeurige zijde zijn genoeg (HHZ), want de derde hoek volgt uit de hoekensom.

Niet genoeg zijn:

• Alleen drie gelijke hoeken. Die driehoeken hebben dezelfde vorm, maar kunnen een andere grootte hebben (gelijkvormig).
• Twee zijden en een hoek die niet tussen die zijden ligt. Daarmee kun je soms twee verschillende driehoeken tekenen.

Congruentie gebruiken

Met congruente driehoeken kun je laten zien dat iets altijd waar is.

Zo'n redenering schrijf je op in korte stappen met de reden erbij. Noem de reden steeds: gegeven, hoekensom, ZZZ, ZHZ of HZH.

Valkuilen

• **Hoekensom van een veelhoek met $n$ hoeken is $n\cdot 180^{\circ }$.** Dat is fout. Het is $(n-2)\cdot 180^{\circ }$.
• Buitenhoek verwarren met binnenhoek. Binnenhoek en buitenhoek zijn samen $180^{\circ }$.
• Drie gelijke hoeken als congruent zien. Dan weet je alleen dat de driehoeken gelijkvormig zijn.
• De hoekpunten in de verkeerde volgorde opschrijven. Bij $△ABC\cong △DEF$ hoort $A$ bij $D$, $B$ bij $E$ en $C$ bij $F$.
• Een redenering zonder reden. Schrijf bij elke stap waarom het klopt.

In het kort

• Hoekensom driehoek $180^{\circ }$, vierhoek $360^{\circ }$, $n$-hoek $(n-2)\cdot 180^{\circ }$.
• Een buitenhoek van een driehoek is de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken.
• Bij een regelmatige veelhoek is de buitenhoek $\frac{360^{\circ }}{n}$.
• Congruent betekent dezelfde vorm en grootte. Kenmerken: ZZZ, ZHZ, HZH.
• Drie gelijke hoeken geven alleen gelijkvormigheid.