Samenvatting · Wiskunde · vwo 2 Vergelijkingen en ongelijkheden: balansmethode, breuken en het teken omdraaien

Een vergelijking heeft een isgelijkteken, een ongelijkheid heeft een teken als $<$ of $\ge$. Na deze samenvatting los je lineaire vergelijkingen op met haakjes en breuken, weet je wanneer een vergelijking geen of oneindig veel oplossingen heeft, en los je ongelijkheden op, inclusief het omdraaien van het teken.

Vergelijkingen oplossen: de balans

Bij een vergelijking vind je de waarde van de onbekende waarbij linker- en rechterlid gelijk zijn. Alles wat je links doet, doe je ook rechts. Je mag aan beide kanten hetzelfde getal optellen of aftrekken, en beide kanten met hetzelfde getal vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen met 0 of delen door 0).

Voorbeeld met haakjes: $3(x-2)-2(x+1)=4$

• Haakjes wegwerken: $3x-6-2x-2=4$, dus $x-8=4$.
• Dus $x=12$. Controle: $3\cdot 10-2\cdot 13=30-26=4$.

Vergelijkingen met breuken

Vermenigvuldig beide kanten met het kleinste getal waar alle noemers in passen. Vermenigvuldig elke term, ook de termen zonder breuk.

Geen oplossing of altijd waar

Soms valt de $x$ weg tijdens het oplossen.

• $2x+3=2x+5$ geeft $3=5$. Dat is nooit waar, dus de vergelijking heeft geen oplossing.
• $3(x+1)=3x+3$ geeft $3x+3=3x+3$. Dat is voor elke $x$ waar, dus de vergelijking heeft oneindig veel oplossingen.

Ongelijkheden

Een ongelijkheid gebruikt een van deze tekens:

De oplossing is meestal een heel gebied van getallen. Op een getallenlijn teken je een open bolletje bij $<$ en $>$ (het getal zelf hoort er niet bij) en een gesloten bolletje bij $\le$ en $\ge$ (het getal hoort er wel bij).

De regel voor ongelijkheden: je lost ze op met dezelfde stappen als vergelijkingen, met een belangrijke uitzondering. Vermenigvuldig je beide kanten met een negatief getal, of deel je ze door een negatief getal, dan draait het teken om. Optellen en aftrekken verandert het teken niet, en vermenigvuldigen of delen met een positief getal ook niet.

Voorbeeld 1: $3x+2<14$

• Trek 2 af: $3x<12$.
• Deel door 3 (positief, dus het teken blijft): $x<4$.

Voorbeeld 2: $-2x+3\ge 11$

• Trek 3 af: $-2x\ge 8$.
• Deel door $-2$ (negatief, dus het teken draait om): $x\le -4$.
• Controle: $x=-5$ geeft $10+3=13\ge 11$, dat klopt. En $x=-3$ geeft $6+3=9$, dat klopt niet.

Voorbeeld 3: $5x-7>2x+8$

• Trek $2x$ af: $3x-7>8$.
• Tel 7 op: $3x>15$.
• Deel door 3: $x>5$.
• Controle: $x=6$ geeft $23>20$, dat klopt. En $x=5$ geeft $18>18$, dat klopt niet.

Voorbeeld 4 (dubbele ongelijkheid): $-3<2x+1\le 9$

• Trek overal 1 af: $-4<2x\le 8$.
• Deel overal door 2: $-2<x\le 4$.

Ongelijkheden en grafieken

Wil je weten voor welke $x$ de ene formule een grotere uitkomst geeft dan de andere, dan zoek je de $x$-waarden waarvoor de ene grafiek boven de andere ligt. Je berekent eerst het snijpunt (gelijkstellen) en kijkt dan aan welke kant van het snijpunt de grafiek hoger ligt.

Een situatie met een ongelijkheid

Tuinbedrijf A rekent €45 voorrijkosten plus €30 per uur. Tuinbedrijf B rekent €15 voorrijkosten plus €40 per uur. Wanneer is A goedkoper dan B?

Valkuilen

• Het teken niet omdraaien bij delen of vermenigvuldigen met een negatief getal. Uit $-2x\ge 8$ volgt $x\le -4$ en niet $x\ge -4$.
• Het teken omdraaien bij optellen of aftrekken. Dat is niet nodig, ook niet als je een negatief getal optelt. Alleen bij vermenigvuldigen en delen met een negatief getal draait het teken om.
• **$\le$ en $<$ verwisselen.** Controleer of het randgetal zelf een oplossing is.
• Bij breuken niet alle termen vermenigvuldigen. Vermenigvuldig je beide kanten met 6, dan geldt dat voor elke term.
• De controle overslaan. Vul bij een ongelijkheid een getal uit je oplossing in, en een getal dat erbuiten ligt.

In het kort

• Los vergelijkingen op met de balansmethode en controleer je antwoord.
• Haal breuken weg door met de noemer of het kgv te vermenigvuldigen.
• Valt de $x$ weg, dan is er geen oplossing of zijn er oneindig veel oplossingen.
• Bij ongelijkheden werk je net als bij vergelijkingen, maar het teken draait om bij vermenigvuldigen of delen met een negatief getal.
• Een open bolletje hoort bij $<$ en $>$, een gesloten bolletje bij $\le$ en $\ge$.
• Vergelijk je twee formules met een ongelijkheid, dan zoek je waar de ene grafiek boven de andere ligt.