Samenvatting · Wiskunde · havo 2 Lineaire formules: richtingscoëfficiënt, formule opstellen en snijpunten

Een lineaire formule hoort bij een rechte lijn. Na deze samenvatting bereken je de richtingscoëfficiënt van een lijn, stel je de formule van een lijn op en bereken je snijpunten met de assen en met andere lijnen.

De formule van een rechte lijn

Een lineair verband heeft de formule

• $a$ is de richtingscoëfficiënt (rc), ook wel hellingsgetal genoemd. Hij geeft aan hoeveel $y$ verandert als $x$ met 1 toeneemt.
• $b$ is de beginwaarde, ook wel startgetal genoemd: de waarde van $y$ bij $x=0$. Daar snijdt de lijn de y-as, in het punt $(0,b)$.

Een verticale lijn, zoals $x=3$, heeft geen formule van de vorm $y=ax+b$ en dus geen rc.

De rc berekenen

De rc bereken je met twee punten $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$ op de lijn:

Dat is de **toename van $y$ gedeeld door de toename van $x$**. Het maakt niet uit welk punt je eerst neemt, als je maar in teller en noemer dezelfde volgorde houdt.

Let op de tekens: $3-(-1)=3+1=4$.

Uit een tabel: Is de stap in $x$ groter dan 1, deel dan de verandering van $y$ door de stap in $x$.

Bij een stap van 2 daalt $y$ met 3, dus $a=\frac{-3}{2}=-1,5$. Bij $x=0$ is $y=12$, dus de formule is $y=-1,5x+12$.

De formule opstellen

Met twee punten: bereken eerst $a$, vul daarna een van de punten in om $b$ te vinden.

Voorbeeld met een breuk: Een lijn gaat door $(2,3)$ en $(8,6)$. Dan is $a=\frac{6-3}{8-2}=\frac{3}{6}=0,5$. Invullen van $(2,3)$: $3=0,5\cdot 2+b$, dus $b=2$. De formule is $y=0,5x+2$.

Met de rc en een punt: Een lijn heeft $a=\frac{2}{3}$ en gaat door $(3,5)$. Dan geldt $5=\frac{2}{3}\cdot 3+b=2+b$, dus $b=3$ en $y=\frac{2}{3}x+3$.

Snijpunten met de assen en punten op de lijn

• Met de y-as: vul $x=0$ in. Dat geeft het punt $(0,b)$.
• Met de x-as: vul $y=0$ in en los $x$ op. Voor $y=-2x+5$: $0=-2x+5$, dus $2x=5$ en $x=2,5$. Het snijpunt is $(2,5;0)$.

Ligt een punt op de lijn? Vul de coördinaten in de formule in. Bij $y=-2x+5$ ligt het punt $(4,-3)$ op de lijn, want $-2\cdot 4+5=-3$. Het punt $(1,2)$ ligt er niet op, want $-2\cdot 1+5=3$ en niet 2.

Het snijpunt van twee lijnen

In het snijpunt hebben twee lijnen dezelfde $x$ en dezelfde $y$. Je stelt de twee formules aan elkaar gelijk.

Voorbeeld uit een situatie: Taxibedrijf A rekent €3 instaptarief plus €2 per km: $K_A=3+2n$. Taxibedrijf B rekent €1 instaptarief plus €2,50 per km: $K_B=1+2,5n$. Gelijkstellen geeft $3+2n=1+2,5n$, dus $2=0,5n$ en $n=4$ km. Dan kosten beide $3+2\cdot 4=11$ euro. Bij een rit korter dan 4 km is B goedkoper en bij een langere rit is A goedkoper.

Evenwijdige lijnen

Twee lijnen zijn evenwijdig als ze dezelfde rc hebben.

Lineaire formules in een situatie

Een zwembad van 480 m³ wordt leeggepompt met 12 m³ per minuut. Het volume na $t$ minuten is $V=480-12t$.

• De rc $-12$ betekent dat het volume per minuut met 12 m³ afneemt.
• De beginwaarde 480 is het volume op het begin.
• Leeg is het bij $V=0$: $480-12t=0$, dus $t=40$ minuten.

Valkuilen

• De rc omgedraaid. De rc is $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ en niet $\frac{\Delta x}{\Delta y}$.
• Teken- en volgordefouten. Houd in teller en noemer dezelfde volgorde van de punten aan. Zet negatieve coördinaten tussen haakjes.
• **De beginwaarde aflezen bij een andere $x$ dan 0.** De beginwaarde hoort bij $x=0$.
• Het snijpunt half uitrekenen. Na het uitrekenen van $x$ reken je ook $y$ uit.
• Een verticale lijn een rc geven. Een lijn $x=c$ heeft geen rc.

In het kort

• Een lijn heeft de formule $y=ax+b$ met rc $a$ en beginwaarde $b$.
• De rc is $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
• Formule opstellen: eerst $a$, dan $b$ door een punt in te vullen.
• Snijpunt met de y-as: $x=0$. Snijpunt met de x-as: $y=0$.
• Snijpunt van twee lijnen: formules gelijkstellen en daarna ook $y$ uitrekenen.
• Evenwijdige lijnen hebben dezelfde rc.